Утверждения, связанные с линейной зависимостью (независимостью) векторов.
Date: 2015-10-07; view: 442.
1. Если в системе векторов есть нулевой вектор, то она линейно зависима.
2. Если векторы а1,а2,а3,...,ак линейно независимы, а векторы а1,а2,а3,...,ак,b линейно зависимы, то вектор b линейно выражается через векторы а1,а2,а3у...,ак.
3. Пусть в системе < 
> (1**)
……………………………………..
, 
≠0. Тогда данная система векторов линейно независима.
4. Если система векторов < 
линейно зависима, то некоторый вектор этой системы линейно выражается через другие.
5. Если к системе линейно зависимых векторов < > добавить произвольный вектор Ь, то система 
останется линейно зависимой.
6. Удаление одного вектора из системы линейно независимых векторов оставляет систему линейно независимой.
7. Прибавление к одному вектору линейно независимой системы другого вектора этой системы, умноженного на какое-либо действительное число, оставляет систему линейно независимой.
8. Умножение одного из векторов линейно независимой системы на число, отличное от нуля, оставляет систему линейно независимой.
9. Прибавление к одному вектору линейно зависимой системы другого вектора этой системы, умноженного на какое-либо действительное число, оставляет систему линейно зависимой.
10. Умножение одного из векторов линейно зависимой системы на число, отличное от нуля, оставляет систему линейно зависимой
Замечание. Последние четыре утверждения можно обобщенно сформулировать так:
Гауссовские преобразования не изменяют линейной зависимости или независимости системы векторов.
3. Понятие ранга и базиса системы векторов. Алгоритм нахождения ранга системы векторов.
Рангом системы векторов < 
> называется наибольшее число линейно независимых векторов.
Базисом системы векторов является наибольшее подмножество линейно независимых векторов.
Алгоритм:
Выпишем координаты векторов 
в виде таблицы:
Будем преобразовывать с помощью преобразование 1 и 2 вида, стремясь получить нули левее и ниже диагонали. Эти преобразования изменяют вектора, входящие в систему, но система сохраняет свою линейную зависимость или независимость. Появившиеся 0 строки – вычеркиваем. Преобразования закончена если таблица коэф-в имеет трапециевидный, треугольный или ступенчатый вид. Число оставшихся ненулевых строк и является рангом системы векторов. Если мы каждый раз прибавляем строки с меньшим номером к строкам с большим номером, то обнулившиеся строки линейно зависят от предыдущих, а те вектора, что были записаны в ненулевых строках первоначально, образуют базис.
Ступенчатый вид таблицы – таблица, в которой каждая следующая строка начинается с большего числа нулей, чем предыдущая.
4. Матрицы и действия над ними. Свойства операций над матрицами. Запись системы линейных уравнений в виде матричного равенства.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Векторная запись систем линейных уравнений. | | | Матрицы и действия над ними. |