Матричная запись систем уравнений

Date: 2015-10-07; view: 487.

В этой системе m- уравнений и n-неизвестных. – или переменные, числа – к-т при в i-ом уравнении, - свободные члены.

Рассмотрим матрицу системы:

5. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Определитель n-го порядка для квадратной матрицы. Свойства определителя.

Каждая квадратная М имеет определитель.

Определитель n-го порядка.

Назовем определителем сумму вида:

- элемент i-ой строки.

– определитель, полученный вычеркиванием i-ой строки и каждого столбца.

Замечание: Выбор сроки не влияет на значение определителя.

Это индуктивное определение.

Свойства:

1.

2. Если 2 строки (столбца) равны между собой, то def М = 0

3.def, содержащий нулевую строку (столбец) =0

4. Если поменять местами 2 строки (), то знак def поменяется на противоположный.

5. Общий множитель строки () можно вынести за знак определителя.

6. Если каждый элемент некоторой строки () представлен в виде суммы 2-х слагаемых, то def может быть представлен в виде суммы 2-х определителей.

7. Определитель не измениться. Если к эл-м некоторой строки () прибавить элементы другой строки(), умноженные на одно и тоже число.

8. Сумма произведений к-либо строки () def на алгебраические дополнения, соответствующие другой строке () равна 0

9.def произведения 2-х матриц равен произведению их определителей, даже в том случае, если АВ≠ВА

6. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса. Общее и частное решение системы.

В этой системе m- уравнений и n-неизвестных. – или переменные, числа – к-т при в i-ом уравнении, - свободные члены.

Опр. Решением системы (1) называется упорядоченный набор чисел (x₁⁰,x₂⁰,x₃⁰,...,x_n⁰), который при подстановке каждое уравнение системы (1) обращает в истинное равенство

Опр.Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

1) Совместная: 3x-y=3 и –x+y=1 Решение (2,3)

2) Несовместная: x+2y=3 и x+2y=5 Не могут выполняться одновременно.

Опр. Система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение. Если система имеет более одного решения, то она называется неопределенной.

3) Система, приведенная в 1 примере, является определенной системой.

4) Неопределенная: х+у=1 и 3х+3у=3 (0,1) (-2,3) и т.д.

Опр. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений

5) Имеют обе единственное решение - (2,1)

Заметим, что любые две несовместные системы с одинаковым числом переменных равносильны

Опр. Система (1), у которой все свободные члены равны нулю, называется однородной.

Очевидно, что любая однородная система совместна, т.к. в множество решений такой системы всегда входит набор (0,0,..., 0). Введем два вида гауссовских преобразований линейных систем

Преобразование 1 вида. В системе к одному из уравнений прибавляется другое уравнение системы, умноженное на какое-либо действительное число.

Преобразование II вида. В системе одно из уравнений умножается на какое-нибудь число, отличное от нуля.

Утверждение 1(2). Преобразование 1 (2) вида приводит исходную систему линейных уравнений в равносильную ей систему.

Для решения системы выпишем таблицу.

Будем применять к ней преобразования:

1. 1 и 2 вида к строкам

2. Вычеркивать 0 строки

3. Менять местами строки (столбцы)

С помощью них изменяем таблицу так, чтобы она стала треугольной (единственное решение) или трапециевидной (система неопределенна и имеет бесконечное мн-во решений).

В общем решении содержится бесконечное мн-во решений. Задавая значения свободной переменной (-ным) получаем частные решения (получая базисные)

7. Понятие обратной матрицы, необходимые и достаточные условия ее существования. Утверждения, связанные с необходимыми условиями существования обратной матрицы.

Назовем М В обратной к матрице А, если АВ=ВА=Е. В таком случае В = А^-1

Необходимое. Назовем квадратную м А вырожденной, если def(A)=0 и невырожденной, если def(A)≠0. Каждая невырожденная матрица имеет обратную

Утверждение 1. Если def =0. То между строками м существует линейная зависимость.

Утверждение 2. Пусть между строками м А существует линейная зависимость. Тогда в произведении АВб какой бы ни была м В, сущ-ет такая же линейная зависимость, как в исходной м А.

Утверждение 3. Вырожденная м не имеет обратной.

Достаточное.Если определитель матрицы отличен от нуля, то для нее сущ-ет обратная матрица, причем единственная.

8. Теорема существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений и матричных уравнений с использованием обратной матрицы.

Теорема: Если определитель матрицы отличен от нуля, то для нее сущ-ет обратная матрица, причем единственная.

1. Определитель.

2. Миноры

3. Транспонируем (меняем строки со столбцами)

3.

Решение (2,2)

9. Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы. Нахождение ранга матрицы.

Рангом матрицы относительно строк (столбцов) – наибольшее число её линейно независимых векторов трок (столбцов).

Формально это 2 разных определения, но:

Теорема:

Ранг матрицы А(m*n) относительно векторов - строк равен рангу матрицы относительно векторов - столбцов.

Очевидно, что rang(A)≤min(m, n)

Для нахождения ранга М – тот же алгоритм. Но теперь будем учитывать Гауссовы преобразования, и к столбцам. При нахождении ранга можно:

1. Применить преобразования 1и 2вида к строкам и столбцам.

2. Вычеркивать 0 строки.

3. Менять местами строки.

4. -//- столбцы

Утверждение:

Преобразования 1 и 2вида не изменяют линейной зависимости или независимости векторов.

Пример. Найти РМ

Rang(A) = 2. Строки матрицы непропорциональны, поэтому они линейно независимы.