Определение ранга ч-з минор. Метод окаймляющих миноров.

Date: 2015-10-07; view: 492.

Рангом матрицы называется наибольший порядок минора, отличного от нуля.

Отсюда – метод окаймляющих миноров.

Утверждение:

Определитель кВ матрицы =0 в том и только том случае, если между его строками есть линейная зависимость.

Метод окаймляющих миноров.

В матрице находим элемент, не равный нулю. Если такого нет, то определитель = 0, и rang = 0. Добавляем строку к столбец к элементу, не равному 0, получаем окаймляющие миноры 2-го порядка, среди них ищем миноры, не = 0, Если такого нет, то rang=1. Если есть, то ищем окаймляющие миноры 3-го порядка и т.д. Порядок старшего минора, не =0 и есть ранг матрицы.

Пример.

Rang(A) = 3

11. Формулы Крамера для решения системы п уравнений с п неизвестными. Условия, при которых применимы формулы Крамера.

Если в системе (1 ) m=n и def системы отличен от нуля, то такая система имеет единственное решение.

Если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам Крамера:

Утверждение.

Однородная система линейных n уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Теорема:

Если в системе 1 число уравнений и переменных одинаково и определитель системы отличен от 0, то такая система имеет единственное решение и его можно найти по формулам Крамера.

Минор n-го порядка - это определитель матрицы А(m*n), полученный от вычеркивания некоторых строк и столбцов так, что получился минор k-го порядка.

12. Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Ограничимся тем, что покажем: если решения есть, то ранги совпадают. Для простоты считаем, что число переменных =3.

Если ( ) – решение, то рав-во выполняется и является линейной комбинацией векторов След-но добавление вектора в н изменяет ранга системы < >

13. Теорема о множестве решений однородной системы, определитель которой равен нулю.

Т. Однородная система линейных n уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Утверждение1. Если определитель М равен 0, то между строками М сущ-ет линейная зависимость.

Пример def=0

Утверждение2.Пусть между строками матрицы сущ-ет линейная зависимость, тогда в произведении АВ какой бы ни была м В, сущ-ет такая же линейная зависимость, как и в матрице А.

14. Линейное пространство. Векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства.

Мн-во, в котором определены операции сложения, * на число, удовлетвор приведенным ниже св-вам, наз-м линейным пространством, и обозначается R. Если линейное пространство из векторов то его называют векторным пространством.

Св-ва.

1. х+у=у+х

2. (x+y)+z = x+()

3. (αβ)x = α(βx) , любые действительные числа.

4. α (x+y)= αx+αy

5. (α+β)x = αx+βx

6. Существует ненулевой эл-т, такой, что : х+0=х

7. Для любого эл-та х существует противоположный эл-т (-х), такой, что: х+(-х)=0

8. 1*х=х