Всякий многочлен с любым числом коэффициентов, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Date: 2015-10-07; view: 562.

Основная теорема алгебры

У данной теоремы есть множество доказательств, впервые ее доказал Гаусс.

Следствие 1. Любой ногочлен степени с комплексными коэффициентами можно представить в виде произведения линейных двучленов:

где — корни многочлена кратности соответственно, причем . Другими словами, многочлен n-й степени имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 2. Если многочлены и , степени которых не превосходят , имеют равные значения более чем при различных значениях переменной , то эти многочлены равны: .

Следствие 3. Если комплексное (но не действительное) число — корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное число является его корнем той же кратности.

Следствие 4. Всякий многочлен с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов (с отрицательными дискриминантами):

где — действительные корни кратности , причем .

Следствие 5. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Многочлен четной степени с действительными коэффициентами может не иметь действительных корней (при этом в разложении (В. 14) отсутствуют линейные двучлены ).