Разложение многочлена на простые множители
Date: 2015-10-07; view: 709.
Вынесение общего множителя за скобки. В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.
Использование формул сокращенного умножения. Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:
Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.
Способ выделения полного квадрата. Метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов.
Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.
Теоретической основой метода являются следующие утверждения.
- Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
- Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
- Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.
Пример 5
Разложить на множители многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1.
Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax2 + bx + c такие, что справедливо равенство
| 3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap)x2 + (c – bp)x – pc. |
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов:
|
Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1.
Итак, многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1 разлагается на множители:
| 3x3 – x2 – 3x + 1 = (x- 1)(3x2 + 2x – 1). |
Теорема о корнях многочлена. Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях. После того, как корень x = α угадан, многочлен Pn (x) представим в виде Pn (x) = (x – α) · Pn – 1 (x), гдеPn – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем Pn (x).
Пример 6
Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.
Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях, если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.
Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть
где Q (x) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2). |