Закон Инерции Квадратичных форм

Date: 2015-10-07; view: 501.

Пусть k(x) — квадратичная форма, заданная в пространстве арифметических векторов Rn.

В пространстве Rn существует канонический базис квадратичной формы, базис, в котором матрица квадратичной формы является диагональной.

В этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид

k(x) = λ₁x₁² + λ₂x₂² + ... + λ_nx_n².

Числа λ₁, λ₂, ... , λ_n — канонические коэффициенты квадратичной формы.

Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэфициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадатичная форма приводится к каноническому виду.

Число положительных канонических коэфициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэфициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.

37) Симметричный оператор. Инвариантность ортогонального дополнения собственного вектора.

Отображение Амножества DA гильбертова пространства Н(в общем случае комплексного) в себя такое, что <Ах, у>=<х, Ау).для любых Если D_A- линейное многообразие, всюду плотное в Н(что предполагается в дальнейшем), то Л - линейный оператор. Если D_A=Н, то Аограничен и, следовательно, непрерывен на Н. С. о. А порождает на D_A билинейную эрмитову форму В( х, у) =<Ах, у>, т. е. такую, что Соответствующая квадратичная форма < Ах, x> действительна. Обратно, действительная на Од форма < Ах, х> влечет симметричность А. Сумма А+В С. о. Аи В с, общей областью определения D_A=D_B есть снова С. о., и если l действительно, то lA также симметричен. Для всякого С. о. Асуществует однозначно определенное замыкание и сопряженный оператор В общем случае А* не является С. о. и Если А*=А, то С. о. наз. самосопряженным оператором. Таким будет, в частности, С. о., определенный на всем Н. С. о., ограниченный на D_A, допускает продолжение на все Нс сохранением симметричности и ограниченности.

Примеры.

1) Пусть бесконечная матрица ||aij||, i, j=1, 2, . . ., такова, что и Тогда система равенств ставящая в соответствие элементу элемент y={hi}, определяет ограниченный С. о., причем он оказывается самосопряженным в комплексном пространстве l₂.

2) В комплексном пространстве L₂(0, 1) оператор , определенный на множестве D_A абсолютно непрерывных на [0, 1] функций, имеющих суммируемую с квадратом производную и удовлетворяющих условию х(0)=х(1)=0, есть С. о., не являющийся самосопряженным.

Если оператор А эрмитов, то размерность инвариантного подпространства, натянутого на ортогональные собственные векторы, отвечающие собственному числу fa оператора А, равна кратности корня fa векового уравнения det(^—XI) и совпадает с п — г,-, где г,- — ранг матрицы s& — fa9.