Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Date: 2015-10-07; view: 451.

Если квадратичная форма такова, что все при , то она называется квадратичной формой канонического вида. Очевидно, что матрица квадратичной формы является диагональной; будем квадратичную форму канонического вида записывать так:

r - ранг квадратичной формы; r<=n

Теорема. Пусть произвольная квадратичная форма от n переменных. Тогда найдется такое линейное невырожденное преобразование переменных, которое эту форму приведет к каноническому виду.

Сформулируем правило приведения квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотри два возможных случая.

1) Существует хотя бы одно Пусть, например, Выделим в квадратичной форме группу членов, содержащих и дополним ее до полного квадрата, тогда получим:

Здесь есть квадратичная форма, полученная в результате приведения подобных членов из и членов, появившихся в результате выделения полного квадрата; уже не зависит от .

Можно применить линейное преобразование: Получим:

Если при этом квадратичная форма содержит хотя бы один квадрат, с ней поступают аналогично; в итоге получим сумму квадратов (канонический вид). Каждому выделению полного квадрата будет соответствовать невырожденное линейное преобразование переменных. Произведение всех этих преобразований, приводящим данную квадратичную форму к каноническому виду.