Ранг Матрицы. Теорема Кронекера – Капелле.

Date: 2015-10-07; view: 489.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Теорема Кронекера – Капелле:

Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Док-во:

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор (минор ранга n базисный, если все миноры n+1 ранга равны 0 либо не существуют)

Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

33) Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.

Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса.

Как уже отмечалось, в пространстве Rⁿ существует множество различных базисов.

Пусть и — два базиса в Rⁿ.

Обозначим и координаты векторов X и Y из L и матрицу оператора A соответственно в базисах и , а – матрицу перехода от базиса к базису , т.е.

Тогда

откуда имеем формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса: