Обратная матрица и её построение.
Date: 2015-10-07; view: 540.
Умножение матриц, его ассоциативность, дистрибутивность относительно сложения и некомутативность. Единичная матрица. Её строение и единственность (для квадратных матриц данного порядка).
Произведением AB (m на n)матрицы А = (ai j) на (n на k) матрицу B = (bi j) называется
(m на k) матрица С =(cij), элемент которой di j, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
i=1, 2, …, m. j=1, 2, …, k
A(BC)=(AB)C
A(B+C)=AB+AC
AB≠BA
Единичная матрица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные равны нулю.
Единичная матрица – такая матрица, что умножение на неё матрицы того же порядка образуется исходная матрица.
Единичная матрица для матриц своего порядка единственна.
Обратная матрица — такая матрица A-1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица имеет обратную ó когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю.
Методы нахождения обратной матрицы:
Метод Гаусса-Жордана:
Приписать к исходной матрице А единичную Е. Применяя элементарные преобразования к исходной матрице А, приводим её к единичной, параллельно делая эти же операции к приписанной матрице. В итоге, когда мы приведём исходную матрицу к единичной, приписанная матрица станет обратной.
Метод алгебраических дополнений:
1) Находим определитель матрицы А.
2) Находим все алгебраические дополнения исходной матрицы А.
3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений каждого элемента матрицы А и транспонируем её.
4) Умножаем полученную транспонированную матрицу на 
5) Получаем обратную матрицу А-1
27) Матричная запись СЛАУ и методы решения:
Матричная запись СЛАУ заключается в том, чтобы записать в матрицу коэффициенты при неизвестных переменных.
Методы решения:
Пусть задана СЛАУ
, Тогда в матричной форме 
Метод обратной матрицы:
AX=B è AA-1X=BA-1 è X=BA-1
Метод Крамера:
Система линейных уравнений:
Если в системе det A≠0 и существует A-1, то система имеет единственное решение.
Определители:
Заметим что ∆i определитель получается из определителя ∆= 
с заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
Решение:
Метод Гаусса:
1) Записать расширенную матрицу системы.
2) Привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований(Прямой ход Гаусса)
3) Провести обратный ход Гаусса (если нужно).
Пояснение: Возможны случаи когда решения очевидны после проведения прямого хода Гаусса. Но если же это не так, то из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.
Метод Жордана-Гаусса:
1. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
2. Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.
4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
6. После повторения этой процедуры 
раз получают ступенчатую матрицу
7. Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.