Понятие группы

Date: 2015-10-07; view: 379.

Определение 1. Множество А, в котором определен закон композиции Т, называется группой G, если этот закон ассоциативен, существует нейтральный элемент е относительно закона Т и для каждого элемента а множества А существует обратный элемент а^-1, т. е. такой элемент, для которого аТа^-1 = е.

Если использовать мультипликативную форму записи композиции элементов, то определению 1 можно придать следующую форму.

Определение 2. Множество А элементов а, Ь, с ..., котором определен закон композиции, называемый умножением и ставящий в соответствие каждой паре элементов а, Ь множества А определенный элемент с = ab этого множества, называется группой G, если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:

1°. a (bс) — (ab)c {ассоциативность).

2°. Существует элемент е множества А такой, что для любого элемента а этого множества ае = а (существование нейтрального элемента).

3°. Для любого элемента а множества А существует обратный элемент а^-1такой, что аа^-1 = е.

Обычно нейтральный элемент е называется единицей группы G. Если закон композиции Т, действующий в группе G, является коммутативным, то группа G называется коммутативной или абелевой. Для абелевых групп часто используется аддитивная форма записи композиции элементов. В этом случае нейтральный элемент абелевой группы называется нулем.