Рассмотрим выражение вида

Date: 2015-10-07; view: 423.

ТЕМА 8. РЯДЫ

Контрольные задания

а) Найти общее решение дифференциального уравнения.

б) Найти решение задачи Коши.

7.1. а) ;

б) ;

7.2. а) ;

б) ; ;

7.3. а) ;

б) ; ;

7.4. а) ;

б) ; ;

7.5. а) ;

б) ; ;

7.6. а) ;

б) ; ;

7.7. а) ;

б) ; ;

7.8. а) ;

б) ; ;

7.9. а) ;

б) ; ;

7.10. а) ;

б) ; ;

7.11. а) ;

б) ; ;

7.12. а) ;

б) ; ;

7.13. а) ;

б) ; ;

7.14. а) ;

б) ; ;

7.15. а) ;

б) ; ;

7.16. а) ;

б) ; ;

7.17. а) ;

б) ; ;

7.18. а) ;

б) ; ;

7.19. а) ;

б) ; ;

7.20. а) ;

б) ; ;

, (1)

называемое бесконечным рядом, где — члены ряда.

Ряд называется числовым, если членами ряда являются числа, и функциональным, если членами ряда являются функции.

Сумма конечного числа первых n членов называется

n –ой частичной суммой ряда:

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда и ряд называется сходящимся. Если предел не существует, то ряд расходится и суммы не имеет.

Отметим следующие свойства рядов.

1. На сходимости ряда не сказывается отбрасывание конечного числа его членов.

2. Сходимость ряда не нарушится, если все члены умножить на одно и то же ненулевое число.

3. Сумма (разность) сходящихся рядов есть ряд сходящийся.

Необходимый признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел n-ого члена равен нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

. (2)

Условие (2) является необходимым, но не достаточным условием сходимости, поэтому если , то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Однако, если , то ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим предел общего члена ряда u_n:

, поэтому ряд расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. . Необходимый признак не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда.

Сформулируем достаточные признаки сходимости некоторых рядов и вернемся к решению примера.

В первую очередь рассмотрим числовые ряды.

Числовые ряды