Признаки сравнения

Date: 2015-10-07; view: 438.

Знакоположительные ряды

Рассмотрим два ряда с положительными членами:

, (3)

, (4)

называемых знакоположительными.

Для них справедливы следующие признаки сходимости.

Признак 1. Если, начиная с некоторого n, выполняется условие и ряд (4) сходится, то ряд (3) тоже сходится.

Признак 2. Если, начиная с некоторого n, выполняется условие , и ряд (4) расходится, то ряд (3) тоже расходится.

Признак 3. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды (3) и (4) ведут себя одинаково, т.е. сходятся и расходятся одновременно.

При использовании этих признаков нужно сравнивать исследуемый ряд с рядом, сходимость или расходимость которого уже известна.

Для сравнения обычно выбирают один из следующих рядов:

I. — гармонический ряд, он расходится.

II. ( ) — геометрическая прогрессия, при ряд сходится, при 1 расходится.

III. — ряд Дирихле (обобщенный гармонический ряд), при сходится, при 1 расходится.

Пример 3. Вернемся к ряду из примера 2: .

Решение. Это ряд с положительными членами. Сравним исходный ряд с гармоническим рядом . Рассмотрим предел отношения общих членов рядов:

.

Ряд (2) расходится, следовательно, на основании признака 3 исходный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. В качестве сравнения возьмем геометрическую прогрессию , которая сходится, т.к. = 1. Сравним общие члены рядов: . На основании первого признака сравнения исходный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим расходящийся ряд (ряд Дирихле). Поскольку, начиная с , выполняется условие , то, согласно второму признаку сравнения, исходный ряд расходится.