Интегральный признак Коши

Date: 2015-10-07; view: 423.

Если , где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим функцию . При функция положительна, монотонно убывает и непрерывна, т.е. удовлетворяет условию интегрального признака Коши. Рассмотрим интеграл

.

Из расходимости интеграла следует расходимость исходного ряда.

Знакочередующиеся ряды

Ряд (5)

называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Составим ряд из абсолютных значений ряда (5):

(6)

Если ряд (6) сходится, то ряд (5) тоже сходится и называется абсолютно сходящимся.

Из расходимости ряда (6) не следует расходимость ряда (5).

Если ряд (6) расходится, а ряд (5) сходится, то он называется сходящимся условно.

Ряд (6) является знакоположительным рядом и вопрос о его сходимости решается с помощью признаков, рассмотренных ранее.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд.

Знакочередующимся называется ряд

, (7)

где для .

Для решения вопроса о сходимости знакочередующегося ряда используют признак сходимости Лейбница.