rus | ua | other

Простейшие св-ва групп(с док-ми)

Date: 2015-10-07; view: 525.

Пусть <G,∙>-группа

(1)е-единственна Д-во: Пусть е1,е2-единицы в G

е1=е1е2=е2(т.к е1 и е2 единицы) ч.т.д

(2)(∀а∈G)a¯¹ единственна Д-во: пусть а¯¹,а׳- обр.к а

а׳=ea׳=(a¯¹a)a׳=a¯¹(aa׳)=a¯¹e=a¯¹ ч.т.д.

(3) (∀a,b∈G)каждое ур-ее ax=b и ya=b имеет единств.

решение. Д-во: ax=b,возьмем х=а¯¹b⇒ax=a(a¯¹b)=

=(aa¯¹)b=eb=b⇒т.е х-решение

С др.стороны: Пусть ∃d∈G: ad=b⇒умнож.на а¯¹

а¯¹(ad)=a¯¹b=(a¯¹a)d=a¯¹b⇒ed=a¯¹b⇒d=a¯¹b

(ур-ее ya=b аналогич.(y=ba¯¹)

(4)св-во сокращения( ∀a,b,c∈G) ab=ac⇒b=c

ba=ca⇒b=c Д-во: Пусть ab=ac⇒(умнож.на а¯¹сл.)

a¯¹(ab)=a¯¹(ac)⇒(a¯¹a)b=(a¯¹a)c⇒eb=ec⇒b=c

аналогич.ba=ca(умнож.на а¯¹сп)

(5) (∀a,b∈G) (ab)¯¹=b¯¹a¯¹ Д-во:ab(b¯¹a¯¹)=

((ab)b¯¹)a¯¹=(a(bb¯¹))a¯¹=(ae)a¯¹=aa¯¹=e ч.т.д.

Аналогично (b¯¹a¯¹)(ab)=e

16. Классы вычетов(кл.выч.), их кол-во. Операц-и на них, корректн-ть операц-й. ОПР:Классы эквивал.-ти по отношен. Сравн-ти по модулю n.наз-ся кл.выч. ОБОЗН: a∈ℤ, n∈ ℕ [a]=mod n={b∈ℤ , b≡a (mod n)}= ā ℤ/≡mod n= ℤ_n–мн-во всех кл.выч. по mod n ЗАМ: a,b∈ℤ, n∈ ℕ, ā=

ó a

b (mod n) Следст.: имеется ровно n кл.выч по mod n, столько сколько ∃ остатков при делении на n. ОПР: Опр-ые на ℤ_n операц. (∀a,b∈ℤ), положим a+b=a+b, a*b=a*b Предл.: операц. на ℤ_n опр-ны корректно. Док-во: ā=

1⇒ a≡a₁ (mod n),

b₁(mod n)⇒ a+b

a₁+b₁(mod n); a*b

b*a⇒

;

20. Подгруппы. Критерий подгруппы. Опр. כ <G,·> - группа. H⊂G Подмн-во H явл-ся подгруппой группы G, если H само явл-ся группой относительно операций, определённых в G (имеются ввиду все операции, т.е. бинарная операция умножения, «нулярная» операция единица и унарная операция взятия обратного). Обозначение: H≤G Примеры: {1,-1}≤Q*=Q\{0} (по умножению) Предложение. כ <G,·> - группа, H⊂G (1) H≠ ∅ (2) (∀a,b∊H) a∙b∊H (замкнутость относит-но умн-я) (3) (∀a∊H) aˉ¹∊H (замкнутость относит-но взятия обратного) Док-во: (=>)כ H≤G => H-группа относительно операций в G. H≠∅ по опред-ю группы. H замкнуто по умножению, т.к. умножение – операция в H ( то же умножение, что и в G) и H замкнуто относит-но взятия обратного, т.к. в H для ∀ элемента ∃ обратный (то же, что и в G). (<=)כ выполняется условия (1)-(3) 1) H≠ ∅ по условию (1) 2) умножение – бинарная алгебраическая операция в H по усл-ю (2)(H⨯H=>H) 3) ассоциатив-ть выпол-ся в H, т.к. она выпол-ся в G, а H⊂G. 4) H≠ ∅ => ∃ a∊H => aˉ¹∊H => a∙ aˉ¹∊H => e∊H 5)( (∀a∊H) a¯¹∊H (по условию) Замечание. . כ <G,·> - группа. H⊂G (1) H≠ ∅ H≤G <=> (2) (∀a,b∊H) a+b∊H (3) (∀a∊H) (-a)∊H

21. Степени и кратные. Порядок группы. Гомоморфизм групп. Свойства гомоморфизмов групп. Изоморфизм групп. Опр. (степени и кратные). כ <G,·> - группа, a∊G, n∊Z Степень элемента a:

Если <H,+> -группа, b∊H, n∊ Z, то определяют кратные элемента b: n

Предложение. כ <G,·> - группа (1)(∀a∊G) (∀m,n∊Z)

(2)(∀a,b∊G) (∀n∊Z) ab=ba =>

Док-во: (1) (a) m>0,n>0

(b) m=0 =>

Опр.(порядок группы). Порядком группы G наз-ся число эл-товв G. Обозначение: |G| (|G|=

=> говорят, что группа G имеет бесконечный порядок). Опр.(гомоомрфизм). כ <G,·> , <H,*> - группы. Отображение

: G→H наз-ся гомоморфизмом групп, если (∀a,b∊G)

(a∙b) =

(сохранение операции умножения) Предложение. כ <G,·> , <H,*> - группы,

: G→H – гомоомрфизм групп. Тогда (1)

(eG)=

(2) (∀a∊G)

Док-во: (1)

(

)

по св-ву сокращ-я в группе. (2)

Таким образом,

обратный к

Пример:

→2Z ,

, (∀m,n∊Z)

-гомоморфизм групп Опр.(изоморфизм). כ <G,·> , <H,*> - группы, отображение

: G→H наз-ся изоморфизмом групп, если

-гомоморфизм групп и биекция. Говорят, что группы G и Hизоморфны, если ∃ изоморфизм из G в H. Обозначение: G ̴͇ H Пример:

:<R,+> → <

-изоморфизм групп. (∀x,y∊R)

Сюръек. (∀a∊

) ∃ x = ln a,

Инъект. ]

22.Кольца.Ассоциативые,коммутативные,кольца с 1.простейшие свойства. Определение: K≠0, + и *-бин. Алгеб-ие опер-ии (k,+,*)-н-ся кольцом,если: (1)

– коммутативно отн-но

(2)

- ассоц-но отн-но

(3)

(4)

a+(-a)=0 (5)

- дистриб-ть умножения

отн-но сложения Определение:(k, +, x)-кольцо Кольцо н-ся коммутативным, если

ассоциативным,если

кольцом с 1,если

Св-ва: 0 – единый

(a-b)c=ac-bc⎱ где a-b = a+(-b) A(

b-c)=ab-ac⎰ Док-во: (1),(2) –выполняется т.к. (k,+, x)- группа по опр. (3)1 и 1'-ед-ца k 1'=1'x1=1 (4) a x 0=a(0+0)=a x 0 +a x 0 (5) (-a)b +ab=b(-a+a)= b x 0=0 (-a)b=-ab (6)(a-b)c=(a+(-b))c=ac+(-b)c x ac+(-bc)=ac-bc

23.Подкольцо.Критерий подкольца. Опр:

(K,+, X)- кольцо.

.Подмн-во

наз-ся подкольцом кольца k,если

само является кольцом отн. Опер-й опр. В k Обозн.

Критерий подкольца

a+b

-завис отн.+ 3)

(-x)

–завис отн. Обр. 4)

a x b

–завис отн. X Док-во:

-подколь. Отн.опер. k

(

)-группа

(k,+)

вып-ся (1)-(3)-критер. Подгруппы 2)(4)- вып-ся ,т.к. х-опер-я в

(

)

вып-ся (1)-(4) (1)-(3)

-подгруппа (k,+) т.е. явл. Группой M-абилева, т.к. + комму-но (т.к. + в (k,+)) коммут-но

х-опер-я в

. Дистрибут-ть выпол. В

,т.к. она вып-ся в k а

Опр.

(

)-кольца Отображение ᵠ:k

наз-ся гомоморфизмом колец,если

: ᵠ(a+b)= ᵠ(a)

ᵠ(b)-сокр.сложение ᵠ(ab)= ᵠ(a)

ᵠ(b)-сокр.умножение Предл.

(k,+,х),(R

)-кольца ᵠ:k

-гомоморфизмом колец,тогда=> ᵠ(0_k)=0_k (0-ноль)

ᵠ(-a)=- ᵠ(a) Док-во :(1),(2)-вып-ся,т.к. ᵠ гомоморфизм колец по + Опр:] k,R-кольца. ᵠ:k

, отображение ᵠ:k

наз-ся изоморфизмом колец,если ᵠ-гом-изм и биекция Говорим,что кольца k и R –изоморфны,если

изоморфизм из k

Обознач k

24. Делители 0. О.Ц., поля. Св-во сокращения в О.Ц. Связь между полями и О.Ц. Определение ]<К,+,*> - кольцо; a,bÎК. Эл-нты a и b н-ся делителями 0, если a,b≠0; a*b=0. Определение Коммутативное, ассоциативное кольцо с 1 и без делителей 0 н-ся О.Ц. Предложение (Св-во сокращения в О.Ц.) ]<К,+,*> - О.Ц.; a,b,c ÎК, a≠0 a*b=a*c Þ b=c Д-во: a*b=a*c Þ a*b – a*c=0 Þ a*(b-c)=0 a≠0 Þ b-c=0 Þ b=c. Определение Коммутативное, ассоциативное кольцо с 1 F н-ся полем, если |F|>1 и ("aÎF, a≠0)($a^-1ÎF) a*a^-1=1. Предложение F – поле Þ F – О.Ц. Д-во: ] F – поле Þ F - коммутативное, ассоциативное кольцо с 1. ] a,bÎF и a*b=0; a=0 Þ a и b не являются делителями 0. a≠0 Þ $a^-1ÎF Þ a^-1*a*b=a^-1*0 Þ 1*b=0 Þ b=0, т.е. в F нет делителей 0 Þ F – О.Ц. Замечание Обратное неверно: Z – О.Ц., но не поле.

25. Поля. Св-ва полей. Подполе, критерий подполя. Изоморфные поля. Определение Коммутативное, ассоциативное кольцо с 1 F н-ся полем, если |F|>1 и ("aÎF, a≠0)($a^-1ÎF) a*a^-1=1. Предложение (простейшие св-ва полей) ] <F,+,*> - поле (1) 1 – единственна; (2) ("aÎF, a≠0) a^-1– единственный (3) 1≠0. Д-во: (1) выполняется, т.к. F – кольцо с 1. (2) ] a^-1, a` - обратные a (aÎF, a≠0) a`=1*a`=(a^-1*a)*a`= a^-1*(a*a`)=a^-1*1=a^-1 (3) ] 1=0, ]a – произвольный эл-нт из F Þ 1*a=0*a Þ a=0 Þ F={0} Þ |F|=1 W Þ 1≠0. Определение ] <F,+,*> - поле, P

F. Подмножество P н-ся подполем поля F, если оно само является полем относительно операций, определённых в F (+,0,-,*,1,-1). Обозначение P≤F Предложение ] <F,+,*> - поле, P

F. P≤F <=> (1) |P|>1; (2) ("a,bÎP) a+bÎP; (3) ("aÎP) -aÎP; (4) ("a,bÎP) a*bÎP; (5) ("aÎP) a^-1ÎP. Д-во: (Þ) ] P≤F Þ P является полем Þ 1. P - кольцо ÞP – подкольцо F Þвыполняется (2) – (4). 2. (1) выполняется по определению поля. 3.(5) выполняется по опред-нию поля, в поле каждый ненулевой эл-нт обратим, и обратные те же, что и в F. (Ü) ] выполняются условия (1) – (5). 1. (1) – (4) (|P|>1 Þ P≠ Æ)Þ P –подкольцо Þ P является кольцом. 2. |P|>1. 3. Коммутативность, ассоциативность в P выполняется т.к. они выполняются в F, P

F. 4. ] aÎP, a≠0 Þ a^-1ÎP Þ a*a^-1ÎP Þ 1ÎP. 5. В P " ненулевой эл-нт обратим – следует из (5). Определение Поля F и Q н-ся изоморфными, если они изоморфны как кольца. Обозначение F@Q.

26.Поле комплексных чисел – построение. Опр: С=R*R(a₁,b₁)+(a₂,b₂)=(a₁+a₂;b₁+b₂) (a₁,b₁)*(a₂,b₂)=(a₁*a₂- b₁*b₂; a₁*b₂ + a₂*b₁) a₁,b₁,a₂,b₂ ? R => a₁+a₂+.. ? R предл: <C,+,*> - поле доказ: 1.ǀСǀ>1; 2. ]u,v ÎC=>u=(a₁; b₁),v=(a₂;b₂)=>u+v=( a₁; b₁)+(a₂;b₂)=(a₁+a₂;b₁+b₂)= (a₂+a₁;b₂+b₁)= (a₂,b₂)+ (a₁,b₁)=v+u 3.аналогично ассациативно+,коммуникативно*, ассациативно*,дистрибутивно*,относительно+ 4.O_C =(0;0);(a;b)+(0;0)=(a+0;b+0)=(a;b) 5. 1_С =(1;0);(а;b)*(1;0)=(а*1-b*0;а*0+b*1)=(а;b) 6.(а;b)≠(0;0)(а;b)^-1=(

;

) Предл: R'=R*{0}={(a,0)|aÎR} c C=>R' ≤C Доказ: 1. ǀR'ǀ>1 2. (a₁;0)+(а₂;0)= )=(a₁+a₂;0+0)= (a₁+a₂;0) ÎR' 3. –(а;0)=(-а;-0)=(-а;0) ÎR' 4. (а;0)*(b;0)=(а*b-0*0;а*0+b*0)=(аb;0) ÎR' 5. (а;0) ≠(0;0)=>a≠0=>(a;0)^-1=(

) ÎR' Т.е. Ŕ – поле Предл: R =̴ R', а именно O R-> R' O (a)=(a;0)-изоморфизм колец Доказ: 1. O (а+b)=(а+b;0)=(а;0)+(b;0)= O (а)+ O (b) сохранение 2. O (а*b)= (а*b;0)=(а;0)*(b;0)= O (а)* O (b)сохранение 3. O (а)= O(b)=>(a;0)=(b;0)=>а=b инъективность 4. ]uÎR'=>u=(а;0)=> O (a)=u сюрьективность Отождествим R и R', а <->(a;0)

27. Алгебраич. форма записи компл.числа. Действ.и мнимая ч. компл.числа, геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент компл.числа. Тригонометрическая форма записи компл.числа. произведение и частное чисел в тригонометр.форме. I = (0;1) – мнимая ед. замеч.: I²=(0,1)*(0,1)=(0*0=1*1;0*1+1*0)=(-1;0)=-1 (а;b)=(a;0)+(0;b)=(а;0)+(b;0)*(0;1)=a+bi-au алгебраическая форма записи комплексного числа Опред: Z=a+bi а=R?Z – действ.часть числа «+» b=ImZ – мнимая часть числа опр: Z=a+bi ǀZǀ =

- модуль Z argZ=α, sin α=

,cos α=

замеч:

Z?C ǀZǀ опред. Однозначно argZ не определ. Z=0. Для Z≠0 argZ определен с точностью до 2∏. опред: ǀZǀ=r, argZ= α =>Re Z=r* cos α, ImZ=r* sin α=>Z=r(cos α+i*sin α)-тригонометр.форма запсии числа Z Предл:Z₁=r₁(cos α₁+i*sin α₁) ≠0 Z₂=r₂(cos α₂+i*sin α₂) ≠0 => Z₁* Z₂= r₁* r₂(cos(α₁+ α₂)+ i*sin(α₁+ α₂)) Z₁^-1=r^-1₁(cos(-α₁)+i*sin(-α₁))

(cos(α₁-α₂)+ i*sin(α₁-α₂)) Доказ:1. z₁*z₂=r₁*r₂(cosα₁*cosα₂+i*sinα₂*cosα₁+i*sinα₁* cosα₂+i²*sin α₁*sin α₂)=r₁*r₂(cos α₁* cos α₂- sinα₁* sinα₂+i(sinα₁* cosα₂+ sin α₁*sin α₂)= r₁*r₂(cos(α₁+ α₂)+ i*sin(α₁+ α₂)) 2. r₁(cos α₁+i*sinα₁)*

( cos(-α₁)+ i*sin(-α₁))= r₁*

( cos(α₁- α₁)+ i*sin(α₁- α₁)=1(cos0+i*sin0)=1(1+0*i)=1 3.

=z₁*

=r₁(cos α₁+ i*sinα₁)*

(cos(-α₂)+i*sin(-α₂))=m

Вопрос 28 Формула Муавра ,извлечение корней из комплексного числа . Пред.(Формула Муавра)

Д-во индукц. по n n =1 верно

утв.е д-но для n, д-м для (n+1)

Извлечене корней

Рассмотрим ур-е

Ясно , что

(арифметический формы )

Обозначим

То различных корней n-й степени из

существует n Достаточно взять к =0,1,…, n-1.

Вопрос 29 Кольцо многочленов от одной переменной одночлены . Степень многочлена . Многочлены над областью целостности , степень поизведения многочленов

K-ком. Ассоц. Кольцо с 1 (например , k=

) Опред. Многочленам с коэффициентами из кольца k ( над k) назовем формальное выражение вида

+…+

Здесь считаем

Опред. Многочлен вида

Степень множителя :Всякий ненулевой мн-н разлагается в сумму многочленов (попарно ) различных степеней и притом единственным с точностью до порядка слагаемых образом Док-во .

+(0+

Если

пропустим

+…+(

+…+

Опред.

Однозначен

н-ся высшим членом мн-на f n=degf степень мн-на f f (часности , f=a , a

, a

Предл.k-o ц=> k[x]-оц Причем если fig

Deg (fg)= deg f + deg g (*) Д-во

+…+

=>f.g= (

m.k k-oц ,

=> вычислим(fg)=

В частности , fg

33.Схема Горнера. K-о.ц.,f єK[x],degf > 0,cєk F=(x-c)q+r, r= f(c) F=

₊

_+…+

+…+

x +

q*(x-c)+r=(

+…+

x +

)*(x-c)+r=

+…+

x-c

-c

-…-c

x -c

+r=

- c

)

+…+(

)x+(r-c

)

b_n-₁= a_n	b_n-₁= a_n
b_n-2– c b_n-1=a_n-1	= +c
-c	= +c
- =	= +
r – с b₀=a₀	r = a₀+сb₀

	a_n			…		a₀
c	b_n-₁	=c +	=c +	…	= +	r= +a₀

-Коэф.q

32.Значение многочлена и корень многочлена.Теорема Безу. Определение: Пусть K-о.ц.,f єK[x],cєk F=

₊

_+…+

Значением мн-на f в точке c называется элемент F(c)=

+…+

c +

(кольца k) (Заметим f=a,aєk,т.е. deg f≤0,то (∀cєk)f(c)=a) Элемент c называется корнем мн-на f ,если f(c)=0 Замечание: K-о.ц.,f єK[x],cєk ⇒ (∃!q,r єk[x]) F=(x-c)q+r и degr<deg(x-c)=1 ⇒ degr=-∞ или 0 Т.е. rєk F=(x-c)q+r ⇒ f(c)=(c-c) q(c)+r ⇒ f(c)=r Теорема Безу. K-о.ц.,f єK[x],cєk f ⋮(x-c) ⇔f(c)=0 (т.е. с-корень f) Док-во: F=(x-c)q+r, r= f(c) f ⋮(x-c) ⇔r=0⇔ f(c)=0

34. 1корни многочлена над о.ц. Теор.К-о.ц.,f∈К[x],deg f=n≥0 => F имеет в К не более и разл.корней Д-во:1 n=0 =>f=c,c∈K, c≠0=>f не имеет корн, Т е имеет 0 разл корней. 2индукция n₀n,n∈N,n=1=>f=a₁x+a₀,a₁≠0 a) ] fимеет 2 кор. с1 и с2 ,а₁с₁+а₀=0 и а₂с₂+а₀=0=>т к К=о.ц. с1-с2=0=>c1=c2,a_1≠0 b) ]утв.д-но для n,д-ем его для n+1, b1)если f не имеет корн.,то утв.-верно b2) ] c- кореньf,f(c)=0=>f:(х-с) (3(.)вертик.вместо деления) теор.Безу,f=(x-c)*q, q∈k[x].Если с' корень f и c'≠c то , f(c')=(c'-c)*q(c')=>g(c')=0.Всякий кор.fимеет не более n разл.кор.=> имеет не более( n+1)разл.кор.(корни q и c).

36.Рациональные корни мн-на с целыми коэф-тами Предл: f=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀; a_n,…,a₀

Z, n≥1, a_n≠0 f(

)=0, где m

N, k

Z. НОД(k,m)=1 (т.е.

Q-несократимая дробь)=> 1) a_n

m, a₀

k ; 2)

Z) k-qm| f(q) Замечание: q=1 f(1)

k-m q=-1 f(-1)

k+m док-во: 1) f(

)= a_n_*(

)ⁿ+ …+a₁+a₀ (умножим на mⁿ) 0=a_nkⁿ+…+a₁km^n-1+a₀mⁿ => a_nkⁿ

m НОД(k,m)=1 =>НОД (kⁿ,m) = 1 (если р-простое, р|k, p|m => p|k, h|m – ѡ) => a_n

m Аналогично a₀mⁿ

k => a₀

k. НОД(mⁿ,k)=1 2) Зам: k-ком. Асс. Кольцо с 1, a,bϵk, nϵN => aⁿ-bⁿ⋮a-b Док-во: (a-b)(a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1) = aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+ +a²b^n-2+ab^n-1-a^n-1b-a^n-2b²-…-ab^n-1=aⁿ-bⁿ f(q)=a_nqⁿ+…+a₁q+a₀ , f(q)- f(

)=(a_n(qⁿ-(

)ⁿ)+…+ a₁(q-

)+(a₀-a₀) f(q)mⁿ=a_n(qⁿmⁿ-kⁿ)+…+a₁m^n-1(qm-k))⋮qm-k => f(q)mⁿ⋮qm-k Докажем, что НОД (mⁿ, qm-k)=1. Пусть ∃ p-простое: p|mⁿ, p|qm-k => => p|m=> p|qm=> p|k - W=> f(q)⋮qm-k

35.K-ком.,ассоц,кольцо с 1,f и g∈K[x]. F=a_nxⁿ+…+a₀,g=b_mx^m+…+b (Здесь n> 0= > a_n≠0,n=0=>f=a₀,a₀произв.аналог.для g) Опр.мн-ны f и g = ,алгебр.,если n=m,(люб. i=0,1…,n)a_i=b_i,f=g. Опр. .мн-ны f и g =,функцион.,если(люб.с∈К)f( c)=g( c),обозн. f̑=g̑. Зам f=g => f̑=g̑. Предл. К-∞обл.цел., f̑=g̑=> f=g.Д-во:рассмотр.h=f-g(люб.c∈K) h(c)=f( c)-g(c )=0 T.o. h имеет ∞ много кор.=> h=0=>f-g=0=>f=g

37.Отношение делимости в кольце многочленов над полем. Опр: пусть f,gϵF[x], f⋮g или g|f, если (∃ hϵF[x]) f=gh (f-кратное g, g-делительf) предл: (∀ f, g, h, qϵF[x]) f⋮α, f⋮αf ∀αϵF^*=F \ {0} f⋮g, g⋮h => f⋮h f⋮h, g⋮h => (∀u,vϵF[x]) (fu+gv)⋮h f⋮g, h⋮q => fh⋮gq fh⋮gh, h≠0 => f⋮g 0⋮f; f⋮0=> f=0; f⋮g, f≠0 => g≠0 f⋮g, f≠0 => deg f≥ deg g f⋮g ó αf⋮βg, где α,βϵF^* f⋮g, g⋮f ó f=αg для некоторого αϵF^* Док-во: 1) f=αα^-1f=αfα^-1 7) f⋮g, f≠0 => f=

; hϵF[x], g,f ≠0. T.o. deg f, deg g, deg h≥0, Deg f=deg g+deg f => deg f≥deg g 9) (<=) пусть f=αg, αϵF^*=> αg⋮g (αg=gα), g⋮αg (g=αgα^-1) (=>) f⋮g, g⋮f. если f=0, то g=0 => α можно взять любое Пусть теперь f≠0 =>g≠0. F=gu, g=fv, u,vϵF^*[x] => => f=fuv => (т.к. f≠0) uv=1

30. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов над полем, существование. Теорема: ] F – поле. (∀ f, g∈ F [x], g≠0) (∃ ! q, r ∈ F [x]) f=g∙q+rиdeg r <deg g Док—во: (∃) 1) deg f = - ∞, т. е. F=0 ⇒ 0=g∙0+0 deg r <deg g [0(=f)=g∙0(=q)+0(=r)] [degr ( - ∞) <degg (≥0) ] 2)degf ≥ 0 индукция по n=degf≥0 а) базис индукции:n=0 ⇒ f=c, c ∈ F, c≠0 Возможны случаи: a1) degg = 0, т. е. g=d, d ∈ F, d≠0 ⇒ c=d∙

+0 degr<degg [c(=f)=d(=g)∙

+0] [deg r(= - ∞) <degg(=0)] a2) deg g >0 ⇒ c=g∙0+c deg r <deg g [c(=f)=g(=q)∙0+c(=r)] [deg r(=0)<deg g] b) шаг индукции: ] утверждение доказано для всех мн-в степени <n (n>0) ] degf = n Возможные случаи: b1) deg g >deg f ⇒ f=g∙0+f(=r), deg r=deg f<deg g b2) deg g ≤ deg f [degg(=m –обозн.) ≤ deg f(=n)] f=

+… +

; g =

+…+

;

≠0 Рассмотрим h=f-

·g ·

h = (

+…+

) – (

+…+

) = =

+…+

т.о.deg h<n По доказанному в n 1), если degh =- ∞, т.е. h=0 и по предположению индукции, если degh≥0 (∃

∈ F [x]) h=g ·

; deg

< deg g ⇒ f=h +

· g ·

= g ·

g ·

= = g · (

) +

[

=r] deg r = deg

<deg g

31. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов над полем, единственность. Деление с остатком в кольце многочлена над областью целостности. Теорема:] F – поле. (∀ f, g∈ F [x], g≠0) (∃ ! q, r ∈ F [x]) f=g∙q+rиdeg r <deg g Док-во: (!) ] f = g ·

= g ·

deg

, deg

< deg g = m – обзн. ⇒g · (

) =

Если

, тоdeg(

)≥0 ⇒ deg(g(

))≥m+0 Но deg(

)<mW(противоречие) Т.о.

Замеч: ]K – о.ц. , но не поле ⇒ утверждение из теоремы о делении с остатком не выполняется, например, K=Z, f=

, g=2·x+1 Однако выполняется ] K-о.ц. (∀f, g∈ K[x], g≠0, g=

- обратимвK) (∃! q, r∈ K[x] f=g · q+r, degr<degg)

14.Каноническое разложение целого числа. Вычисление НОД. Опр. a ∈ Z, a>1 a=p₁ᶛ¹*…*pᵢᶛᶦ, где Ϸ1,…, Ϸі ∈N p1,…,pᵢ- попарно различные числа -каноническое разложение целого числа на простые множители. Предл. a,b ∈N, a≠1 или b≠1 a=p₁ᶛ¹*…*pᵢᶛᶦ, b= p₁ᵝ¹*…*pᵢᵝᶦ, где p1,…,pᵢ- попарно различные числа (k=1,…,i), Ϸi,βi ∈ Z (целые) Ϸi,βi >=0, Ϸi≠0, βi ≠0 =>НОД(a,b)= p₁ᵐᶦᶯ(ᶛᵝ) *…* pᵢᵐᶦᶯ(ᶛᶦᵝᶦ) Пример. 12=2²*3=2²*3¹*5° 15=3*5=2°*3¹*5¹ НОД(12,15)= 2°*3¹*5°=3 Док-во: Обозначим Ϸ= p₁ᵐᶦᶯ(ᶛᵝ) *…* pᵢᵐᶦᶯ(ᶛᶦᵝᶦ) Д-м, что Ϸ= НОД(a,b) (1)min(Ϸ1,β1)<= Ϸ1,…,min (Ϸi,βi)<= Ϸi => d/a Аналогично d/b. (2) (При любом d'∈ Z) d'/a, d'/b => d'= p₁ˠ¹*…*pᵢˠ ᶦ, где ɣ1,…,ɣᵢ ∈ Z ɣ1,…,ɣᵢ >=0 ɣ1,…,ɣᵢ <=Ϸi, ɣ1,…,ɣᵢ <= βi => ɣ <= min(Ϸi,βi)

<== previous lecture	\|	next lecture ==>
Algebra and geometry	\|	Определение и простейшие свойства векторных пространств

lektsiopedia.org - 2013 год. | Page generation: 2.244 s.