Определение и простейшие свойства векторных пространств

Date: 2015-10-07; view: 440.

Непустое множество V называется векторным

(линейным) пространством над полем P, если:

1) на V задана бинарная алгебраическая операция "+";

2) определено умножение элементов из V на элементы из P, т.е.

задано отображение P×V →V: (α,v) Þ α⋅v.

Эти операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам), выполняющимся для любых элементов x,y,z∈V и α,β∈P :

1.x+y=y+x (коммутативность).

2.(x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность).

3.Существует элемент 0∈V такой, что 0+x=x+0 для любого x∈V.

Элемент 0 называется нулевым элементом(вектором).

4.Для каждого x∈V существует противоположный элемент −x , такой, что x+(−x)=0.

5.1x=x.

6.(αβ)x=α(βx).

7.(α +β)x=αx+βx.

8.α(x+y)=αx+αy.

Элементы из V называют векторами, а элементы поля P – скалярами(числами).Совокупность аксиом 1–4 означает,

что множество V с операцией сложения "+" является абелевой группой.

Если даны два вектора x,y∈V , то под разностью

x−y будем понимать x−y=x+(−y).

Некоторые свойства векторных пространств:

1)Значение суммы комплексного числа векторов не зависит от порядка суммирования (например, по аксиоме 2).Поэтому операцию сложения векторов можно распространить на любое конечное число векторов.

2)Произведение нулевого вектора на любое число a из основного поля равно нулевому вектору, т.е. a×0=0. Действительно,

a×0=a×(0+0)=a×0+a×0.Следовательно,a×0=a×0-a×0=0.

3)Произведение любого вектора x на число 0 равно нулевому вектору, т.е. x×0. Действительно,x×0=x×(0+0)=x×0+x×0,откуда:

x×0=x×0-x×0=0.

4)Если αx=0,то либо α=0,либо х=0.В самом деле, если α ¹ 0, то

х =1х=[(1/α)×α]×х=(1/α)(αх)=(1/α)×0=0.

5)Для каждого вектора х противоположный вектор равен произведению х на число -1, т.е. –х= -1х. В самом деле,

х+(-1)х=1х+(-1)х=(1-1)х=0х=0. Означает, что вектор (-х) является противоположным к вектору х.

6)Для любого вектора х и любого числа α выполняется равенство α(-х)=(-αх).Действительно,

α(-х)= α[(-1)х]= [α(-1)]х= (-1)(αх) =(-αх).

7)Для любых векторов х и у и любого числа α выполняется равенство α(х-у)= αх- αу.В самом деле,

α(х-у)= α[х+(-у)]= αх+ α(-у)= αх- αу.

8)Для любого вектора х и любых чисел α,β выполняется равенство

(α- β)х= αх- βх, так как

(α −β)x=[α +(−β)]x=αx+(−β)x=αx−βx.