Линейная выражаемость системы векторов

Date: 2015-10-07; view: 458.

Линейная зависимость векторов

Конечная система векторов х₁, … ,х_n называется линейно зависимой, если существуют, такие числа α ₁, … , α_n, не все равную нулю, что

0= α₁х₁ + … + α_nх_n.

В противном случае система векторов х₁ , …, х_n линейно независима.

Теорема 2.1Если некоторая подсистема заданной системы векторов линейно зависима, то и вся система векторов линейно зависима.

Теорема 2.2 каждый вектор заданной системы векторов S линейно выражается через векторы любой ее максимальной линейно независимой подсистемы.

Д-во.

Пусть х₁, … ,х_n – максимально линейно независимая под система в системе векторов S и b – произвольный вектор в S.

Тогда α₁х₁ + … + α_nх_n + αb = 0 , α ¹ 0.

Так как α ¹ 0, то неравенство α₁х₁ + … + α_nх_n + αb = 0 можно преобразовать к виду

b = -( α₁/ α) х₁ - … - ( α_n / α) х_n , т.е. получить линейное выражение вектора b через вектор х₁, … ,х_n Теорема доказана.

Теорема 2.3(Основная теорема о линейной зависимости векторов)

Пусть даны системы векторов х₁, … ,х_r и y₁, … ,y_s, причем первая линейная зависимость выражается через вторую . Тогда число векторов в первой системе превышает числа векторов во второй, т.е. r£s.

Теорема 2.3(теорема о рангах двух систем векторов)

Пусть даны две системы, причем ранг первой равен k, а ранг второй – r. Если первая система линейно выражается через вторую, то k £ r. Если две системы эквивалентны, то k =r.

Система векторов х₁, … ,х_n, n³2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные векторы.

Действительно, если система векторов х₁, … ,х_s линейно зависима, то выполняется равенство α₁х₁ + … + α_sх_s=0, в котором, например, х_s ¹ 0.

Тогда из этого равенства получаем:

х_s= -( α₁/ α_s) х₁ - … - ( α_s-1 / α_s) х_s-1. Это означает, что вектор х_s линейно выражается через систему векторов х₁, … ,х_s-1 , т.е.

х_s =α₁х₁ + … + α_s-1 х_s-1

Тогда верно и равенство α₁х₁ + … + α_sх_s=0, в котором α_s= -1 ¹ 0. Значит, система векторов х₁, … ,х_s линейно зависима.