Нормальная форма Фробениуса

Date: 2015-10-07; view: 920.

Если А – матрица, а F – подобная ей матрица Фробениуса, то F называется нормальной формой Фробениуса матрицы А

Для любой квадратной матрицы над произвольным полем существует единственная фробениусова нормальная форма.

Д-во.

Докажем сначала существование фробениусовой нормальной формы. Пусть А – квадратная матрица порядка n над полем Р, система инвариантных множителей ее характеритической матрицы

1,…,1, , где . Так как определитель характеристической матрицы отличен от нуля, то , - делитель многочлена

Следовательно, существует матрица Фробениуса F, сопровождающая система многочленов .

Порядок матрицы F равен сумме степеней многочленов .

И представляет собой , т.е. характеристический многочлен матрицы А, и имеет степеней n. Таким образом, , матрицы А и F подобны, F – фробениусова нормальная форма матрицы А.

Теперь докажем единственная фробениусовой нормальной формы.

Пусть и – подобные матрицы Фробениуса. Тогда и имеют совподающие системы инвариантных множителей.

И тогда и сопровождают одну и ту же систему многочленов и поэтому совпадают.