Вопрос 32.Окружность.Уравнение окружности.

Date: 2015-10-07; view: 534.

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек на плоскости. Пусть дана окружность радиуса R с центром О . Найдем ее уравнение. Для произвольной точки M(x;y) окружности выполняется равенство OM=R. Используя формулу расстояния между двумя точками получим или после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение . Это уравнение называется нормальным уравнением окружности. Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид
Если R=1, то окружность называется единичной:

Любой отрезок, соединяющий 2 точки окружности называется ее хордой.

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром, называется радиусом.
- длина окружности.

Вопрос 33. Эллипс (вершины, оси, полуоси, фокусы). Уравнения эллипса.
Э́ллипс — геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причем

Окружность является частным случаем эллипса.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где a - действительная полуось, b - мнимая полуось .

Директрисами называются 2 прямые, которые имеют уравнения .

Эллипс симметричен относительно осей координат. Если a=b, то эллипс обращается в окружность , где .

e= - эксцентриситет эллипса. e-эллипс

Вопрос 34. Гипербола(вершина, оси, полуоси, фокуса). Уравнения гиперболы, свойства и изображения.

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, абсолютная разность от каждой из которых до 2-х точек , называемых фокусами, есть величина постоянная - 2a.

Каноническое уравнение гиперболы: ,где a и b-полуоси
2a и 2b-оси

e= - эксцентриситет
.- директрисы

Построение:
1)Строится прямоугольник , то есть ,
2)Чертятся диагонали

· -вершины
Если a=b, то гипербола называется равнобочной (становится квадратом).
если и фокусы гиперболы, то касательная в любой точки гиперболы является биссектрисой угла .

Для любой точки лежащей на гиперболе отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.

Вопрос 35.Парабола. Уравнения параболы, свойства и изображения.
Парабола-это множество всех точек плоскости равноудаленных от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

(или , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы^[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.

Квадратное уравнение при также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке , координаты которой вычисляются по формулам:

где — дискриминант

· Парабола — кривая второго порядка.

· Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.

· Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.

· Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Вопрос 36.Метод координат в пространстве. Основные задачи.

Пусть - прямоугольная система координат в пространстве, а М – произвольная точка этого пространства (рис.1).

Вектор называется радиус-вектором точки М относительно точки О.

Так как

= + + = + + , то = ………………………(1)

где x, y, z – действительные числа.

Координаты x, y, z вектора называются координатами точки М в системе координат . Число х называется абсциссой, число y – ординатой, число к – аппликатой точки М и записывают М(x, y, z).

Ломаную называют координатной ломаной точки М, построив которую можно построить и саму точку М. В данном случае точка является проекцией точки М на ось абсцисс, - проекцией точки М на ось ординат, - проекцией точки М на ось аппликат, и так как = , = , = , то при этом, если точки М₁, М₂, М₃ принадлежат соответственно полуосям Ох, Oy, Oz отрицательного направления, то , , .

В школьном курсе геометрии решаются основные задачи в прямоугольной системе координат:

1. Координаты вектора по координатам его начала и конца определяются так: Если М₁(x₁,y₁,z₁), M₂ (x₂, y₂, z₂), то = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁) ……………(2)

2. Скалярное произведение векторов = (а₁, а₂, а₃) и = (b₁, b₂, b₃) в координатах равно: = + + ………………(3)

3. Длина вектора = (а₁, а₂, а₃) вычисляется по формуле

…………………………(4)

4. Угол между векторами = (а₁, а₂, а₃) и = (b₁, b₂, b₃) из определения скалярного произведения = определяется так:

= = ………………(5)

5. Расстояние между двумя различными точками М₁(x₁,y₁,z₁) и M₂ (x₂, y₂, z₂) равно: = = ……………….(6)

6. Уравнение сферы с центром в точке С(x₀,y₀,z₀) и радиусом r имеет вид:

(x – x₀)² + (y – y₀)² + (z – z₀)² = r² …………………… (7)

7. Координаты точки М(x,y,z) – середины отрезка М₁М₂, где М₁(x₁,y₁,z₁) и

M₂ (x₂, y₂, z₂), М₁ ≠ М₂ находятся по формулам:

; ; ………………….(8)

8. Условие коллинеарности векторов = (а₁, а₂, а₃) и = (b₁, b₂, b₃) имеет вид

………………………………… .(9)