Пример 4.

Date: 2015-10-07; view: 407.

Пример 3.

Пример 2.

Пример 1.

Примеры векторных пространств

Определение и примеры векторных пространств.

Векторным (линейным) пространством над полем Кназыв. множество V с операциями сложения и умножения на эл-ты поля К, обладающими следующими свойствами:

1. Относительно сложения V есть абелева группа.

2. r(a + b) = ra + rb .

3. (r + s)a = ra + sa .

4. (rs)a = r(sa) .

5. 1a = a .

для любых a,b из V и для любых r,s из К.

Элементы вект. пр-ва V наз векторами.

Векторы в смысле элементарной геометрии будем наз. Геометрическими векторами. Операции над ними удовлетвор. Всем аксиомам векторного пространства, что и послужило основой для данного выше определения.

Пространство геом. векторов евклидовой плоскости мы будем обозн. через E² .

Пространство геом. векторов евклидова пространства будем обозн. через E³ .

Пространство геом. векторов – это векторное пр-во над полем вещественных чисел R .

Множество Kⁿ строк длинны n с элементами из поля К явл. векторным про-вом над К относительно операций, определенных формулами:

(a₁, a₂,…, a_n) + (b₁,b₂,…,b_n)=(a₁+b₁, a₂+b₂, … , a_n+ b_n)

r(a₁, … , a_n) = (ra₁, … ,ra_n);

Докажем одну из аксиом вект. простр.

(rs) (a₁, a₂,…, a_n) = ((rs) a₁, … , (rs) a_n) = (r(s a₁), … ,r(s a_n)) = r(sa₁, … , sa_n) = r(s(a₁, a₂,…, a_n)).

Множество F(X,A) всех функций на множестве X со знач. в поле K является векторным пространством относительно обычных операций над функциями:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(rf)(x) = rf(x)

Пусть К – подполе поля L. Тогда L можно рассматривать как векторное пространство над К, определив умножение эл-тов из L на эл-ты К просто как умножение в L. В частности поле комплексных чисел С есть в этом смысле векторное пространство над R.