Линейные комбинации векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов и их св-ва.
Date: 2015-10-07; view: 474.
Пример 3.
Замечание.
Подпространства линейного пространства: определения и примеры
Подмножество U векторного пространства V наз. подпространством, если
1) U является подгруппой аддитивной группы V
2) a ϵ U => ra ϵ U для любого r ϵ K.
В определении подгруппы требуется чтобы: a ϵ U => -a ϵ U.
При наличии условия 2) из опред. подпростр. последнее св-во выполн. автом., так как -a = (-1)a.
Подпространство векторного пространства само является векторным пространством относительно тех же операций.
Пример 1.В пространстве E3 множество векторов, параллельных заданной плоскости или прямой, является подпространством.
Пример 2.В пространстве F(X,R) всех ф-ций на заданном промежутке числовой прямой X множество непрерывных ф-ций является подпространством.
В каждом векторном пространстве V есть два тривиальных подпространства: само пространство V и нулевое подпространство (состоящее из одного нулевого вектора). Последнее мы будем обозначать символом 0.
Пусть V векторное пространство над полем К.
Опр1. Всякое выражение вида r1a1 +r2a2 +…+rnan,где r1,r2,…,rn– эл-ты из поля К, наз. линейной комбинацией векторов a1, a2,…, an из векторного пространства V.
Опр2. Говорят, что вектор b линейно выражается через векторы a1, a2,…, an,если он равен некоторой их линейной комбинации.
Опр3.Линейная комбинация r1a1 + r2a2 + … + rnan (r1, r2, … , rn -элементы из поля К) векторов пространства V наз. тривиальной (простой),еслиr1 =r2=…=rn=0, и нетривиальнойв противном случае.
Опр4. Векторы a1, a2,…, an назыв. линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю, и линейно независимыми в противном случае.
Лемма 1.Векторы a1, a2,…, an , (n>1) ЛЗ тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через остальные.
Лемма 2.Пусть векторы a1, a2,…, an - ЛНЗ. Вектор b линейно выражается через a1, a2,…, an тогда и только тогда, когда векторы a1, a2,…, an,b – ЛЗ.
Лемма 3.Пусть вектор b линейно выражается через a1, a2,…, an . Это выражение единственно тогда и только тогда, когда a1, a2,…, an - ЛНЗ.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Пример 4. | | | Определение базиса линейного пространства. Переформулировка определения базиса. Теорема о существовании базиса в конечномерном векторном пространстве. |