Определение базиса линейного пространства. Переформулировка определения базиса. Теорема о существовании базиса в конечномерном векторном пространстве.
Date: 2015-10-07; view: 516.
Основная лемма о линейной зависимости
Опр.
Опр.
Линейная оболочка множества. Конечномерные бесконечномерные векторные пространства
Векторное пространство называется конечномерным, если оно порождается конечным числом векторов, и бесконечномерным в противном случае.
Пусть S – какое-то подмножество множества V. Совокупность всевозможных (конечных) линейных комбинаций векторов из S наз. линейной оболочкой множества S и обозначается через <S>.
Это наименьшее подпространство пространства V, содержащее S. Говорят, что пространство V порождается множеством S, если V=<S>.
Если векторное пространство V порождается n-векторами, то всякие m>n векторов пространства V линейно зависимы.
Доказательство.Пусть V=< a1, a2,…, an > и b1,b2,…,bm (m>n) - какие-то векторы пр-ва V. Выразим их через a1, a2,…, an .
b1=s11 a1 + … +s1n an
b2=s21 a1 + … +s2n an
……………..
bm=sm1 a1+ … +smn an
Для любых t1, … , tm из поля К. получим отсюда t1b1+…+ tm bm = (t1s11+…+ tmsm1) a1 + … +(t1s1n+…+ tmsmm) an
Рассмотрим систему n однородных линейных уравнений c m независимыми
s11 x1 + … +s1n xn=0
s21 x1 + … +s2n xn=0
……………..
sm1 x1+ … +smn xn=0
Если t1, … , tm - произвольное решение этой системы, то t1 b1+…+ tm bm=0.
С другой стороны, эта система имеет ненулевое решение, так как m>n. Следовательно, векторы b1,b2,…,bm линейно зависимы.
Опр6.Система векторов {e1, … , en} из V назыв. базисом линейного пространства V, если каждый вектор a из V единственным образом линейно выражается через e1, … , en . Коэфициенты этого выражения наз. координатами вектора a в базисе {e1, … , en}.
Опр7.Базисом векторного пространства V назыв. всякая линейно независимая система вектора, порождающая пространство V.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Линейные комбинации векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов и их св-ва. | | | Размерность векторного пространства. |