Матрица перехода от одного базиса к другому. Формула преобразования координат при переходе к новому базису.

Date: 2015-10-07; view: 550.

Матрица С наз. матрицей перехода от базиса {е_1, ..., е_п} к системе {е'_1, ..., е'_п} .

e'1=e1c11+…+encn1

…

e'n=e1c1n+…+encnn

e=(e1,…,en) строка e умножается на столбец матр.

e'=(e'1,…,e'n)

e'=e*C

Если строка матрицы ЛЗ, то ёё определитель равен 0.

Если определитель равен нулю, то строки матр. ЛЗ.

j-ый столбец матр. С есть столбец координат вектора e'j в базисе { e1,…,en }. Поэтому векторы e'1,…,e'n, ЛНЗ (и, значит, составляют базис) тогда и только тогда, когда столбцы матр. С ЛНЗ, т.е. когда матр. С невырожденна.

Следовательно, матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому базису того же линейного пространства невырожденна.

Если распространить правило умножения матриц на случай, когда элементами одной из них являются векторы (что имеет смысл ввиду операций, определенных в векторном пространстве), то равенства могут быть переписаны в следующей матричной форме (е'1,...,е'_п) = (е₁,...,е_п)С.

Пусть х— какой-либо вектор пространства V . Разложим его по базисам {е,,..., е„} и {е{,..., е'_п}:

x=x1e1+…+xnen=x'1e'1+…+x'ne'n.

X=(x1 X'=(x'1

… …

xn) x'n)

Тогда х = (е₁',...,еn); Х' = (е₁,...,е_n)СХ', откуда получается следующая формула преобразования координат при переходе от базиса {е1,..., еn} к базису {е'1,,..., е'_п}:

X = СХ'; (е₁',...,е'n)=(e'1,,..., е'_п)*X, т.к. координаты вектора X в базисе {е1,..., еn} определяется единственным образом.

Более подробно формулы X=C*X' модно записать в виде