Ранг системы векторов. Ранг матрицы. Эквивалентные системы векторов.

Date: 2015-10-07; view: 417.

С понятием размерности тесно связаны понятия ранга системы векторов и ранга матрицы.

Определение 4. Рангом системы векторов называется раз­мерность ее линейной оболочки. Рангом матрицы называется ранг системы ее строк.

Ранг матрицы А обозначается через rk А.

Системы векторов {а₁ ..., аn} и {b1,..., Ь_m} называются эквивалентными, если каждый из векторов линейно выражается через векторы {а₁, ..., а_п } и каждый из векторов а_i линейно выражается через векторы {b1,…,bm} .

Системы векторов <a₁,a₂,...,a_n> = <b₁,b₂,...,b_m> эквивалентны тогда и только тогда, когда линейные оболочки этих систем векторов совпадают, т.е. линейная оболочка натянутая на <a₁,a₂,...,a_n >= <b₁,b₂,...,b_m>. Пусть матрицы А', получена из матрицы А с помощью эквивалентных преобразований. Следовательно строки матрицы А' линейно выражается через строки матрицы А. Тогда и матрица А может быть получена из А' с помощью эквивалентных преобразований над строками того же типа, при этом строки матрицы А' линейно выражаются через строки А и наоборот. Следовательно, системы строк матриц А эквивалентна системы строк матриц А', след., ранг A' равен рангу А.