Вычисление ранга матрицы с помощью приведения её к ступенчатому виду.

Date: 2015-10-07; view: 408.

Предложение 3. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк любой ступенчатой матрицы, к которой она приводится эле­ментарными преобразованиями строк.

Доказательство. Так как ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, то нам достаточно доказать, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что ненулевые строки ступенчатой матрицы линейно независимы.

Предположим, что линейная комбинация ненулевых строк сту­пенчатой матрицы с коэффициентами λ1,…, λr равна нулю. Рассматривая -ю координату этой линейной комбинации, находим, что λ1а_1;- =0, откуда λ1=0. Рассматривая, далее, j₂-ю координату с учетом того, что 1 =0, находим, что = 0, откуда λ ₂ = 0. Продолжая так дальше, получаем, что все коэффициенты λ1,…, λr равны нулю, что и требовалось доказать. □

Следствие. Какую бы последовательность элементарных преобразований, приводящую данную матрицу к ступенчатому виду, мы не выбрали, число ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы будет всегда одним и тем же.