Сумма и пересечение подпространств.

Date: 2015-10-07; view: 377.

Теорема Кронекера – Капелли.

Теорема 6.

1) (Теорема Кронекера — Капелли.) Система ли­нейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы ее коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.

2) Совместная система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда ранг матрицы ее коэффициентов равен числу неизвестных.

Док-во:1)Достаточно рассматривать сис-тему лин. урн-ний расширенной матрицы которая явл. ступенчатая. Такая система не совместна тогда и только тогда, когда ведущий элемент последней ненулевой строки расширенной матрицы стоит в последнем столбце, а это имеет место тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов не равен рангу расширенной матрицы.

2)Совместная система с расшир. ступенч. матр. явл. определенной тогда и только тогда, когда число ненулевых строк этой ступенчатой матрицы равно числу неизвестных.

Очевидно, что для любых двух подпространств U и W векторного пространства V их пересечение U ⋂ W также является подпространством. Это наибольшее подпространство, содержащееся как в U, так и в W.

Определение 1. Суммой U + W подпространств U и W наз. совокупность векторов вида и + w, где и∈U, w∈W.

Это наименьшее подпр-во, содержащее как U, так и W

Определение 4. Суммой U₁ + ... + U_k подпространств U₁,... ,U_k ⊂ V называется совокупность векторов вида и₁ + ... + и_к, где u ∈Ui

Это наименьшее подпространство, содержащее все подпространства U₁,..., U_k.