Базисы, согласованные с подпространствами. Теорема о базисе, согласованном с двумя подпространствами, со следствием.

Date: 2015-10-07; view: 798.

Определение 2. Базис пространства V называется согласованным с подпространством U, если U является линейной оболочкой какой-то части базисных векторов пространстра V

Теорема 1. Для всякой пары подпространств U, W С V существует базис пространства V, согласованный с каждым из подпространств U, W.

Доказательство. Пусть {е1,..., еp } — базис подпространства U⋂W.Дополним его какими-то векторами е_{р + 1}..., е_к до базиса подпространства U и, с другой стороны, векторами е_{к + 1},..., е_{к + l-р} — до базиса подпространства W. (Здесь р = dim U ⋂ W, к = dim U,l =dim W.) Докажем, что векторы e1 ..., ек + l-р линейно независимы. Дополнив их затем до базиса подпро­странства V, мы и получим базис, согласованный как с U, так и с W.

Предположим ,что . Рассмотрим вектор x= .

Из первого представления вектора х следует, что он лежит в U,а из второго — что он лежит в W. Таким образом, х ∈ U⋂W и, значит, x= .

Так как векторы е1,..., е_р, е_к+l ..., е_{к + l-p} линейно независимы, то отсюда следует, что х = 0 и λi= 0 при i= к + 1,..., к + I — р. Далее, так как векторы е1,...,ек линейно независимы, то из равенства 0, следует, что λi=0 при i = 1,..., к. □

Рисунок 2 иллюстрирует это доказательство в случае р = 1, к = l=2.

Следствие. dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U⋂W).

Доказательство. В обозначениях доказательства теоре­мы 1 векторы е₁,..., е_{к +l-p} составляют базис подпространства U + W, так что dim(U+W) = k + l -р. □