ЛНЗ системы подпространств и их свойства

Date: 2015-10-07; view: 658.

Определение 3. Подпространства U₁,...,U_k называются ЛНЗ, если из равенства u₁ +... + u_к = 0 (ui ∈ Ui) следует, что u₁ = ... = u_к = 0.

Предложение 1. Следующие свойства системы подпро­странств U₁, ..., U_k с V равносильны:

1)U₁,..., U_k - ЛНЗ;

2)объединение базисов подпространств U₁,...,U_k линейно независимо;

3)dim(Ui + ... + U_k) = dim U₁ + ... + dim U_k.

17 Прямые суммы подпространств. Разложение линейного пространства матриц порядка с элементами из поля в прямую сумму двух подпространств)

18 Определение и примеры линейных отображений.

Определение 4.1. Отображение А:L→L' из линейного пространства L в линейное пространство L' наз. линейным отображением или линейным оператором, если выполняется следующие усл.:

a) A(x+y)=A(x)+A(y) для любых векторов x,y ∈ L;

b) A(λx)=λA(x) для любого вектора x∈L и любого числа λ∈R.

Пример 1,2. Докажем линейность оператора поворота множества геометрических векторов на плоскости V₂ на угол  против часовой стрелки. Линейность этого оператора удобно доказать геометрически:

1.A(a+b)=Aa+Ab (см. рис. 2а);

Условия линейности выполнены, следовательно, оператор A линеен.

Пример 3. Докажем линейность оператора проецирования P множества геометрических векторов V₃ на координатную плоскость XOY .

2.

Решение.Пусть в базисе I,j,k задан произвольный вектор a = {α₁, α₂, α₃} . Тогда его образ (проекция на координатную плоскость XOY ) есть вектор Pa = {α₁,α₂, 0} .Для доказательства воспользуемся правилами операций над векторами в координатной форме.Получаем a = {α₁, α₂, α₃}  V₃ , b = {β₁, β₂, β₃}  V₃ и α  R :

1)P(a+b) = {α₁ + β₁, α₂ + β₂, 0} = {α₁, α₂, 0} + {β₁, β₂, 0} = Pa+Pb;

2)P(αa) = {αα₁, αα₂, 0} = α{α₁, α₂, 0} = αPa . Условия линейности выполнены, следовательно, оператор P линеен.