Теорема об изоморфизме алгебры линейных операторов и алгебры матриц.

Date: 2015-10-07; view: 689.

Теорема 4 ( об изоморфности лин.пр-ва операторов и лин.пр-ва матриц). Пусть

U, V — линейные пространства над полем K, B_U, B_V — базисы этих пространств, W — линейное пространство ли­нейных операторов пространства U в пространство V. То­гда отображение f, определенное формулой

f(A) = А_Bu A_Bv, является изоморфизмом линейного пространства W на ли­нейное пространство всех матриц размерности m х n с коэффициентами из поля K. Более того, если U = V, то

f (A * В) = f (A) * f (В).

26.Подпространства, инвариантные относительно линейных операторов.

Определение 3. Подпространство U с V называется инвари­антным относительно оператора А, если

AU С U (т. е. Аи ? U для любого и ? U).

Ограничение A\_u линейного оператора А на инвариантное под­пространство U является линейным оператором в U.

Если базис е₁,..., е_п пространства V выбран таким образом, что U = е_п ..е_к (а это всегда можно сделать), то матрица оператора А в этом базисе имеет вид:

A= , (6)

где В —матрица оператора A\_u в базисе {е₁,..е_к}, С — квадратная матрица порядка п — к и D — какая-то матрица раз­мера к * (n — к). Обратно, если матрица оператора А в базисе {е₁,..е_п} имеет вид (6), где В — квадратная матрица порядка к, то U = е₁,..е_{к к} — инвариантное подпространство.

Еще лучше обстоит дело, когда пространство V удается разло­жить в прямую сумму двух инвариантных подпространств U и W:

V=U+W(плюс в кружочке)

Если {е₁,..., е_к} — базис подпространства U, а {е_{к + 1}, ..,е_п} — базис подпространства W, то {е₁ ..., e_n} — базис пространства V и в этом базисе матрица оператора А имеет вид

A= (7)