Собственные векторы и собственные значения ЛО.

Date: 2015-10-07; view: 452.

Определение 1. Ненулевой вектор е ? V называется собствен­ным вектором оператора А, если Ае = λе. Число λ ? К называ­ется при этом собственным значением оператора А, отвечающим собственному вектору е.

Очевидно, что ненулевой вектор е является собственным тогда и только тогда, когда одномерное подпространство е инвариантно. В базисе, составленном из собственных векторов (если таковой су­ществует), матрица оператора диагональна. Для существования собственного вектора с собственным значе­нием λ необходимо и достаточно, чтобы оператор А — λE был вырожден, т.е. чтобы det(A- λE) = 0.

f_A(t) = (-1)ⁿdet(A-tE) = det(tE-A) называется характеристическим многочленом оператора А. Легко видеть, что коэффициент при tⁿ многочлена f_A(t) равен 1, а коэффициент при t^n-k равен — tr А, где tr А — след матрицы А (сумма ее диагональных элементов). Свободный член многочлена f_A(t) равен f_A(0) = (-l)"det А.

Отметим, что характеристический многочлен линейного операто­ра в силу своего определения не зависит от выбора базиса. Отсюда, в частности, вытекает, что след матрицы линейного оператора не зависит от базиса. Теорема 1. Собственные значения линейного оператора — это в точности корни его характеристического многочлена. Следствие. Любой линейный оператор в комплексном век­торном пространстве имеет собственный вектор. Линейный оператор в вещественном векторном пространстве может не иметь собственных векторов, как показывает пример поворота плоскости на угол а 0, . Однако использование ком­плексных чисел позволяет получить полезную информацию и олинейных операторах над полем вещественных чисел. Это достига­ется с помощью так называемой комплексификации. Предложение1. Вектор х + iу (х, у ? V) является соб­ственным вектором оператора A_с с мнимым собственным значением λ+ iµ (λ, µ , ? R, µ 0) тогда и только тогда, когда U = х, у С V — двумерное инвариантное подпространство для оператора A, причем Aх = λ х —µу, Aу =λ х + µу.

Доказательство проводится непосредственным вычислением. Ра­венства (14) означают, что в базисе {х, у} пространства U оператор A|_u, имеет матрицу:

Теорема 3. Собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям λ₁,...,λ_kоператора А, линейно независимы. Доказательство. Докажем утверждение теоремы индукци­ей по к. При к = 1 доказывать нечего. Пусть к > 1 и е₁ +... + е_к-1 + е_к =0 (е_i Vλ_i(A))-Применяя оператор А, получаем _λ1e₁ + ... + λ _k-1e_k-1 + λ _kе_k = 0.

Вычитая отсюда исходное равенство, умноженное на λ _к, получаем (λ₁ - λ_k)e₁ + ... + (λ_k-1 - λ _k)e_k-1 =0,

откуда в силу предположения индукции следует, что е₁ = ... ... = е_k-1 = 0. Но тогда ие_k=0. С-инвариантно