Необходимые и достаточные условия существования базиса из собственных векторов линейного оператора.

Date: 2015-10-07; view: 1279.

Следствие. Если характеристический многочлен f_A(t) име­ет п различных корней, то существует базис из собственных векторов оператора A.

Указанное условие не является необходимым для существования базиса из собственных векторов.

Предложение 2. Характеристический многочлен ограниче­ния линейного оператора на инвариантное подпространство делит характеристический многочлен самого оператора.

Доказательство. Пусть В — ограничение оператора А на инвариантное подпространство U С V. В базисе пространства V, первые векторы которого составляют базис подпространства U, ма­трица А оператора А имеет вид (6), где В —матрица оператора В. Следовательно,

(16) f_A(t)= f_B(t)*det(tE-C)

Следствие. Размерность собственного подпространства ли­нейного оператора не превосходит кратности соответствую­щего корня характеристического многочлена.

Доказательство. Пусть dim Vλ (A) = к. Тогда характери­стический многочлен ограничения оператора А на Vλ (A) равен (t — λ)^к. Применяя предложение 2 к подпространству U = Vλ (A), мы и получаем доказываемое утверждение. □

Теорема 4.Для существования базиса из собственных век­торов линейного оператора А необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1)характеристический многочлен f_A(t) разлагается на ли­нейные множители;

2)размерность каждого собственного подпространства рав­на кратности соответствующего корня многочлена f_A(t).

Доказательство. Пусть λ_1,..,λ_s — все корни многочлена f_A(t) и k₁,…,k_s— их кратности. Собственное подпространство,

отвечающее λ_i, обозначим через V_i. Согласно следствию предло­жения 1, dim V_i k_i и значит,

(17) _{i i} n

Однако единственный способ получить базис из собственных векто­ров — это взять объединение базисов собственных подпространств. Для того чтобы при этом действительно получился базис простран­ства V, необходимо и достаточно, чтобы

_i=n.

Ввиду (17) это равносильно тому, что , _i= п и dim V_i = к_i для

всех i. Первое из этих условий означает, что f_A(t) разлагается на линейные множители, а второе — это как раз условие 2) теоремы. □