Определение и примеры линейных форм.

Date: 2015-10-07; view: 426.

Определение 1. Линейной функцией (или линейной формой) на векторном пространстве V называется всякая функция h: V —>К,обладающая свойствами

1)h(х + у) = h(х) + h(у);

2)h(λx) = λh(х).

Иными словами, линейная функция — это линейное отображение пространства Vв поле К,рассматриваемое как (одномерное) векторное пространство.

Пример1. Как доказывается в курсе элементарной геометрии, функция h(x) = (h,х) (h Е³) является линейной функцией на пространстве Е³.

ПРИМЕР2. Функция h(f) =f(x₀) (x₀?X) является линейной функцией на пространстве F(X, К)функций на множестве Xсо значениями в К

ПРИМЕР 3. Функцияh(f) = f'(x₀)(x₀?R) является линейной функцией на пространстве С¹(R) дифференцируемых функций на вещественной прямой.

ПРИМЕР4. Функция h(f)= является линейной функ-

цией на пространстве С[а, Ь] непрерывных функций на отрезке [а,b].

Пример 5.Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов. След матрицыXобозначается через trX. Функция h(Х) = trXявляется линейной функцией на простран­ствеL_n(K) квадратных матриц.

Если х_х,...,х_п — координаты вектора х в базисе {е_х, ..е_п}, то

h(х) = h₁x₁+…+h_nx_n.

где a_i = h(е_;). Таким образом, линейная функция однозначно опре­деляется своими значениями на базисных векторах, называемыми ее коэффициентами в данном базисе. Коэффициенты могут быть произвольными: для любых a₁,,..., а_п К функция h, определяемая формулой (2), является линейной.