Сопряжённые пространства и их свойства.

Date: 2015-10-07; view: 532.

Определение 2. Пространство линейных функций на V назы­вается сопряженным пространством по отношению к V и обозначается через V*.

Пусть {е₁,..., е_п} — базис пространства V. Линейные функции έ₁,…, έ_n V*, определяемые равенствами έ_i(x)=x_i называются координатными функциями относительно базиса {е₁,.., е_n}. Они составляют базис пространства V*, который называется со­пряженным базисом по отношению к {е₁,.., е_n}. Из его опреде­ления следует, что для любого вектора х ? V

х = _i(x)e_i .

Сопряженный базис может быть также определен условиями

έ_i(e_j)=δ_ij (символ Кронекера).

Из предыдущего следует, что dim V* = dim V, так что пространства

V и V* изоморфны, хотя между ними и не существует ника­кого естественного (выделенного) изоморфизма. Однако второе сопряженное пространство V** = (V*)* оказывается естественно изоморфным пространству V.

Из определения операций в пространстве V* следует, что для любого вектора х V функция f_х на V*, определенная по формуле

f_x(a) = a(x) является линейной.

Теорема 1. Отображение х -> f_х является изоморфизмом пространства V на пространство V**.Доказательство. Из определения линейных функций сле­дует, что f_{x + y} = f_x + f_y и f_ƛx = ƛf_x. Остается проверить, что отобра­жение х-> f_x биективно. Пусть {е₁,..е_п} — базис пространства V

и {έ₁,..., έ _п} — сопряженный базис пространства V*. Тогда

fe_i(έ_j)= έ_j(e_i)= δ_ij,так что {f_e1,…, f_en } — базис пространства V**, сопряженный ба­зису {έ₁,..., έ _п} . Отображение

х -> f_x переводит вектор с коорди­натами x₁,..х_п в базисе {е₁,..,е_n} пространства V в вектор с такими же координатами в базисе {f_e1,…, f_en } пространства V**.

Следовательно, оно биективно. □

В дальнейшем мы будем отождествлять пространства V и V** посредством указанного изоморфизма, т.е. рассматривать каждый вектор х ? V одновременно и как линейную функцию на V* (и писать х(а) вместо f_x(a)). При таком соглашении пространства V и V* будут играть совершенно симметричную роль.

Следствие. Всякий базис пространства V* сопряжен неко­торому базису пространства V.