Аннулятор подпространства и его свойства.

Date: 2015-10-07; view: 2234.

Определение 3. Аннулятором подпространства U пространства V называется подпространство

Теорема 2. dimU⁰ = dimV – dimU.

Д о к - в о. Пусть {e₁,e₂,…,e_n} – такой базис пространства V, что U= <e₁,e₂,…,e_k>, и {g₁,g₂,…,g_n} – сопряженный базис пространства V^*. Тогда U⁰ = <g_k+1,…,g_n>.

В соответствии с отождествлением пространств V^**и V, мы можем говорить об аннуляторе подпространства W пространства V^*как о подпространстве пространства V. По определению

Теорема 3. (U⁰)⁰= U для любого подпространства U пространства V.

Д о к - в о. В обозначениях доказательства теоремы 2, ясно, что (U⁰)⁰= <e₁,e₂,…,e_k> = U.

Следствие. Любое подпространство в V является аннулятором некоторого подпространства в V^*.

Пусть имеется система однородных линейных уравнений

Будем интерпретировать x₁,…, x_nкак координаты вектора x n-мерного пространства V в некотором базисе {e₁,e₂,…,e_n} . Тогда система (2) может быть записана в виде h_i(x)=0 (i=1,…,m), где h₁,…,h_m– линейные функции, стоящие в левых частях уравнений (2).

Множество решений этой системы представляет собой аннулятор подпространства <h₁,…,h_m> пространства V^*. Заметим, что размерность этого подпространства равна рангу матрицы коэффициентов системы (2). Поэтому теорема о размерности подпространства решений системы однородных линейных уравнений является непосредственным следствием теоремы 2.

Следствие теоремы 3 может быть сформулировано так:

Теорема 4. Всякое подпространство в V является множеством решений некоторой системы однородных линейных уравнений.