Линейные операции над векторами. Свойства.

Date: 2015-10-07; view: 441.

Линейными операциями над векторами называют сложение, вычитание и умножение вектора на число.

Сложение векторов Определение. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , отложенного из конца вектора (правило треугольника). Суммой векторов и называется такой третий вектор , что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы и служат сторонами параллелограмма, а вектор – его диагональю (называется сложением по правилу параллелограмма).

Из рисунков видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы. Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

Свойства операции сложения векторов:

1. ( – сочетательное свойство.

2. , где – распределительное свойство относительно суммы векторов.

3. , где – распределительное свойство относительно суммы чисел.

Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам , то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Пусть и ,

тогда .

Рассмотрим это на примере декартовой системы координат:

Вычитание векторов Определение. Разностью векторов называют вектор . Второе слагаемое является вектором, противоположным вектору по направлению, но равным ему по длине. Таким образом, операция вычитания векторов заменяется на операцию сложения .   Произведение вектора на скаляр Определение. Произведением вектора на скаляр называется вектор , который удовлетворяет условиям:

1) ;

2) ;

3) ;

4) если ; , если .

Следовательно, если векторы и коллинеарные, то .