Системы линейных уравнений

Date: 2015-10-07; view: 417.

Группа

Аддитивная группа кольца

Группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.

Непустое множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией , при которой в имеется нейтральный элемент , то есть для всех выполнено , и для каждого элемента есть обратный элемент , такой, что .

Если в системе (5.40) все функции fi линейны по пере-менным y1,y2,...,yn, то она называется линейной. В этом случае её можно переписать в виде

Обозначая матрицу системы через A(x), а вектор (b1(x),b2(x),...,bn(x))T через b(x), систему (5.42) можем переписать в матричной форме

y′=A(x)y+b(x). (5.42а)

Будем, по возможности, пользоваться матричной формой записи. Если b(x)=0, то получаем соответствующую систему однородных уравнений

Для систем линейных уравнений строится теория, полностью эквивалентная теории линейных уравнений порядка n. В частности, справедлива теорема о наложении решений и её следствия. В том числе и теорема о том, что множество решений однородной системы (5.43) образует линейное подпространство в пространстве дифференцируемых вектор-функций. Сформулируем и по возможности докажем эти результаты.

Так же, как для векторов [1,2] и систем скалярных функций, для систем вектор-функций вводятся понятия их линейной зависимости и линейной независимости.

Определение. Система вектор-функций y1,y2,...,ym называется линейно зависимой на отрезке [a,b], если существуют числа α1,α2,...,αm, не все из которых равны нулю, такие, что

α1y1+α2y2+...+αmym=∑i=1mαiym=0

всюду на [a,b], и линейно независимой, если такого ненулевого набора не существует.

Рассмотрим совокупность вектор-функций y1,y2,...,yn. Определитель, составленный из их координат,

W(x)=|y11y21…yn1y12y22…yn2…………y1ny2n…ynn|

называется определителем Вронского, или вронскианом системы вектор-функций y1,y2,...,yn.

Так же, как и для систем скалярных функций, определитель Вронского системы вектор-функций служит индикатором её линейной зависимости или линейной независимости.

Теорема. Если система вектор-функций линейно зависима, то её определитель Вронского W(x) равен нулю.

Доказательство аналогично соответствующему доказательству для систем векторов [1,2] и систем скалярных функций, приведённому в п. 5.2.3. Предлагается сделать это самостоятельно.

Теорема. Если y1,y2,...,yn - линейно независимая совокупность решений однородной системы уравнений y′=A(x)y, то её определитель Вронского W(x) отличен от нуля для всех x∈[α,β].

Доказательство аналогично соответствующему доказательству для систем скалярных функций, приведённому в п. 5.2.3. Предлагается доказать эту теорему самостоятельно.

Удостоверимся в существовании базиса в пространстве решений системы уравнений y′=A(x)y.

Теорема. Для любой однородной системы линейных дифференциальных уравнений y′=A(x)y порядка n существует система n линейно независимых решений этого уравнения.

Доказательство. Возьмём матрицу

с определителем, отличным от нуля. Тогда строки и столбцы этой матрицы линейно независимы. Найдём такие решения yj(x),j=1,2,...n, системы уравнений y′=A(x)y, чтобы выполнялись соотношения ykj(x0)=qkj,k=1,2,...n. По теореме существования и единственности такой набор решений существует. Найденная система решений линейно независима, так как её определитель Вронского в точке x0 совпадает с определителем матрицы (5.44). Теорема доказана.

Матрицу (5.44) можно взять единичную.

Теорема (о виде общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений). Если y1,y2,...,yn - линейно независимая совокупность решений однородной системы уравнений y′=A(x)y, то любое решение этой системы есть линейная комбинация решений y1,y2,...,yn, то есть

y(x)=∑j=1nCjyj(x)

и, следовательно, y1,y2,...,yn - базис пространства решений системы уравнений y′=A(x)y.

Доказательство. Нам нужно доказать, что для любого набора начальных данных (5.41) (y1(x0),y2(x0),...,yn(x0))T= =(y10,y20,...,yn0)T можно подобрать константыCj, j=1,2,...,n, так, что соответствующее решение y(x) удовлетворяет (5.41). Потребовав, чтобы решение y(x) удовлетворяло условиям (5.41), получим систему линейных алгебраических уравнений

∑j=1nCjykj(x0)=yk(x0)=yk0,  k=​​​ 1,2, ..., n,

определитель которой W(x0)≠0 и поэтому существует единственное решение этой системы.

Таким образом, нами показано, что подпространство решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений конечномерно.

Определение. Любой базис пространства решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений n -го порядка называется фундаментальной системой решений этой системы уравнений.

Так же, как и в линейной алгебре, имеет место следующий результат.

Теорема (о виде общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение yон линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений y′=A(x)y+b(x) есть сумма общего решения yоо соответствующей однородной системы уравнений y′=A(x)y и какого либо частного решенияyчн неоднородной системы уравнений, то есть yон(x)=yоо(x)+yчн(x).

Доказательство. Пусть yчн(x) какое-нибудь фиксированное частное решение неоднородной системы линейных уравнений y′=A(x)y+b(x). Нам нужно показать, что для любого набора начальных данных (y1(x0),y2(x0),...,yn(x0))T= =(y10,y20,...,yn0)T можно подобрать константы Cj, j=1,2,...,n, так, что решениеy(x)=∑j=1nCjyj(x)+yчн(x), где y1,y2,...,yn - фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений y′=A(x)y, удовлетворяет этому набору начальных данных. Потребовав, чтобы данное решение удовлетворяло начальным условиям, получим систему линейных алгебраических уравнений

∑j=1nCjykj(x0)+(yчн)k(x0)=yk(x0)=yk0,  k=1,2, ... , n,

или, что то же самое,

∑j=1nCjykj(x0)=yk0−(yчн)k(x0),  k=1,2, ... , n,

определитель которой W(x0)≠0 и поэтому существует единственное решение этой системы. Теорема доказана.