Ранг системы векторов. Базис системы векторов

Date: 2015-10-07; view: 446.

Теорема. Если система векторов линейно-зависима, то она эквивалентна системе

Доказательстово. Действительно, пусть одновременно неравные нулю числа такие, что . Предположим, что _S 0 , разделим эту сумму на _S, получим: или

, где .

Заменим систему векторов эквивалентной системой с помощью следующего элементарного преобразования:

при и . Тогда вектор . Поменяв местами векторы и получим систему вида . Что и требовалось доказать.

Следствие. Произвольную систему векторов элементарными преобразованиями можно привести к системе вида , где

линейно независимая система векторов.

Число будем называть рангом системы векторов , а систему

– базисом системы векторов .

Отметим, что ранг системы векторов не зависит от конкретной цепочки элементарных преобразований.