Алгоритм Гаусса для нахождения ранга и базиса системы векторов

Date: 2015-10-07; view: 433.

Пусть – система векторов из .

...............

Запишем систему в виде таблицы (матрицы):

Эта таблица имеет строк и столбцов, – размерность матрицы. Наша цель - элементарными преобразованиями строк привести матрицу к верхней треугольной форме

Эта матрица соответствует системе векторов эквивалентной системе . Ненулевые векторы системы линейно независимы и образуют базис системы векторов . Число ненулевых векторов в системе - ранг системы векторов .

1 шаг. Рассмотрим первый ненулевой столбец матрицы. Пусть это будет её первый столбец. Просматривая элементы сверху вниз, найдем элемент , затем переставим первую строку со строкой с индексом .

Получим новую матрицу, которую обозначим также

Мы поменяли значения переменных строки 1 и строки с индексом . В этой матрице .

2 шаг. Разделим первую строку на (умножим на ). Получим: матрицу вида

3 шаг. В цикле от до по индексу строки сделаем следующее : от -ой строки отнимаем 1 строку, умноженную на . В результате получим матрицу вида

Теперь наше внимание сосредоточим на матрице, полученной из данной вычеркиванием первой строки и первого столбца.

4 шаг. Рассмотрим первый столбец этой матрицы (элементы ). Если все элементы столбца равны нулю, то переходим к следующему столбцу, пока не найдем первый ненулевой столбец этой матрицы. Пусть это столбец с индексом

5 шаг.Этот шаг аналогичен первому. Просматривая первого столбца матрицы

сверху вниз, найдем строку, начинающуюся с ненулевого элемента, затем найденную строку переставим с первой строкой этой матрицы.

Получим новую матрицу, которую обозначим также

в которой .

6 шаг. Этот шаг аналогичен второму. Разделим первую строку на (умножим на ). Получим: матрицу вида

7 шаг.Этот шаг аналогичен третьему шагу. Вычитая первую строку, умноженную на соответствующие коэффициенты, из последующих строк матрицы, получим матрицу вида

Продолжая процесс аналогичным образом, придем к матрице верхнего треугольного вида.