Линейная независимость

Date: 2015-10-07; view: 403.

Тензор

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания).

Те́нзор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т.п. Термин «тензор» также часто служит сокращением для термина «тензорное поле», изучением которых занимаетсятензорное исчисление.

Тензор механического напряжения второго ранга. Компоненты тензора в трёхмерной декартовой системе координат образуют матрицу столбцами которой являются силы, действующие на , , и грани куба.

Часто тензор представляют как многомерную таблицу , заполненную числами — компонентами тензора(где — размерность векторного пространства, над которым задан тензор, а число сомножителей совпадает с т.н. валентностью или рангом тензора). Важно, что такое представление (кроме тензоров валентности ноль — скаляров) возможно только после выбора базиса (или системы координат): при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом.

Сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса не зависит, что можно наглядно видеть на примере вектора, являющегося частным видом тензора: компоненты вектора меняются при смене координатных осей, но сам вектор — образом которого может быть просто нарисованная стрелка — от этого не изменяется.

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю,множество называется линейно независимым.

[править]Пример

В векторы , и линейно независимы, так как уравнение

имеет только одно, тривиальное, решение. Векторы и являются линейно зависимыми, так как

а значит

[править]Определение

Пусть будет линейное пространство над полем и . называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть состоит из факторов, равных нулю:

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним , называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается , а во втором .

[править]Свойства

§ линейно зависимо

§ линейно независимо линейно независимо для всех

§ линейно зависимо линейно зависимо для всех

[править]Значение