Преобразования Фурье и Лапласа

Для перехода из временной области в частотную используются прямое и обратное преобразования Фурье следующего вида:

;

,

где f(t), F(jw) – соответственно функция от времени и функция от частоты.

Формула имеет место для непрерывных преобразований периодических функций на бесконечном временном и частотном интервалах.

В вычислительных процедурах и прикладных задачах используются дискретные представления прямого и обратного преобразования Фурье, которое получаются из непрерывного представления функций заменой интеграла на сумму

,

ограниченную конечным рядом элементов.

При этом . K – индекс суммы - пробегает значения по дискретным временным отчётам либо по дискретным частотным отчётам. Ниже приведены графики функций временного и частотного аргумента.

Рис. 5.5.Функция временного аргумента

Рис. 5.6. Функция частотного аргумента

Частотные представления показывают распределение энергии сигнала по соответствующим частотам.

Множитель eхр (экспонента) играет роль масштабирующего коэффициента в преобразовании Фурье. Его можно заменить суммой функций sin и cos:

cos wt - j sin wt = e ^{- jwt,};

где sin, cos - позволяет показать функцию в комплексной области (рис.5.7, 5.8), - мнимая единица.

Рис. 5.7.Представление функции в комплексной области

Рис. 5.8.Представление точки в комплексной области

В вычислительной технике используется дискретное время и дискретная частота.

Пусть t - дискретное время при постоянном шаге дискретизации.

t = D = t₂ - t_1;

;

T=kt ;

;

где k - текущий дискретный индекс по частоте;

n - текущий дискретный индекс по времени.

Функции, представленные в дискретном виде, называют решетчатыми.

Так как преобразование Фурье связывает временные и частотные области с представлением в комплексной плоскости, то возникает возможность формальной замены jw на комплексное число p = a + jb

Для преобразования временного сигнала в комплексную область используются преобразования по Лапласу:

,

где p - комплексное число

F (p) - изображение функции по Лапласу.

Обратное преобразование по Лапласу имеет вид:

.

Для работы в вычислительной среде используют прямое и обратное представление Лапласа, где интеграл заменяется суммой, а соответствующие элементы - дискретными отчётами.

Рис.5.9.Треугольник аргументов

При использовании преобразования Лапласа считают, что в системе отсутствуют возмущения, то есть на момент t₀ никаких остаточных переходов не наблюдается и воздействует только входной сигнал. Если взять при высказанных ограничениях от дифференциального уравнения и, используя свойства аддитивности интеграла, применить преобразования Лапласа к каждому элементу дифференциального уравнения то, можно перейти к следующей формуле

a₀y(p)+ a₁py(p)+… +a_n pⁿ y(p)= b₀x(p)+ b₁px(p)+…+ b_m p^m x(p).

То есть переход от дифференциального уравнения к алгебраическому можно свести к замене:

;

x(p)=(a₀+ a₁p+… +a_n pⁿ) ;

y(p)=(b₀+ b₁p+… +b_m p^m);

,

где W(p) - передаточная функция, т.е. отношение выходного сигала к входному в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях. Последнее обозначает, что в системе нет остаточных процессов. Коэффициенты a и b полностью определяются структурой системы (зависят от R, C, L, ¾ электрических элементов цепи и частоты w ).

В исследовании электротехнических систем различают три задачи, в зависимости от заданных характеристик:

1. Определяем отклик (от структурной функции системы) - получение определенного сигнала y(p) на выходе системы:

y(p)=W(p)×x(p) .

2. Определяем входное воздействие X(p):

.

3. Определяем передаточную функцию по выходному и входному воздействию:

.

Дата добавления: 2014-08-04; просмотров: 650; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!