Студопедия

Главная страница Случайная лекция

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика






Экстремумы функции

Читайте также:
  1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
  2. Вектор функции 2-х скалярных аргументов. Предел. Дифференцирование. Понятие поверхности. Гладкие поверхности и их параметризация с помощью вектор функции.
  3. Высшие психические функции.
  4. Гемоглобин. Его разновидности и функции.
  5. Деньги и их функции.
  6. Деньги, их свойства и функции. Уравнение обмена
  7. Дифференциал функции.
  8. Лекция № 13 Основные элементарные функции: постоянная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.
  9. Лекция № 16 Предел функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределе функции. Односторонние пределы. Непрерывность функции. Первый и второй замечательные пределы.
  10. Маркетинг: понятие, цели, концепции, принципы и функции.

Определение 4.Точка x0 называется точкой минимума (максимума) функции y=f(x), если она определена в некоторой окрестности этой точки и для каждой точки xx0 этой окрестности f(x) > f(x0) (соответственно f(x) < f(x0)). Значение функции f(x0) называется минимумом (соответственно максимумом).

На рисунке 2а b – точка минимума, c – точка максимума.

Под экстремумом понимается либо минимум, либо максимум.

Точка x0 из области определения функции y=f(x), называется критической точкой, если либо f(x) дифференцируема в x0 и f ¢(x0) = 0, либо f(x) не дифференцируема в x0. На рис. 2б и 2в точка x0 – критическая.

  Рисунок 2

 

Необходимое условие экстремума. Если x0 - точка экстремума функции f (x), то она является критической точкой этой функции.

На рис. 2б критическая точка x0 является точкой экстремума, а на рис. 2в критическая точка x0 не является точкой экстремума. Таким образом, не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума.Пусть x0 - критическая точка функции y=f(x). Если в некоторой окрестности точки x0 слева от нее производная f ¢(x) принимает один знак, а справа от нее - противоположный, то x0- точка экстремума. При этом если слева f’(x)>0, справа f ¢(x)<0, то x0- точка максимума, в противном случае x0- точка минимума. Если в некоторой проколотой окрестности точки x0 производная f ¢(x) принимает один знак, то x0 не является точкой экстремума. Если к тому же f (x) непрерывна в x0, то функция монотонна в этой окрестности (рис. 2в).

Второе достаточное условие экстремума. Пусть f ¢(x0)=0 и существует f′′( x0). Тогда если f ′′( x0)>0, то x0- точка максимума. Если же f ′′( x0)<0, то x0- точка минимума.

Этим достаточным условием экстремума удобно пользоваться, если достаточно сложно установить знак первой производной в окрестности точки экстремума.

 


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Промежутки монотонности функции | Правило нахождения точек экстремума и промежутков монотонности

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 234; Нарушение авторских прав


lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.002 сек.