Студопедия

Главная страница Случайная лекция

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика






Правило нахождения точек экстремума и промежутков монотонности

Читайте также:
  1. Ведомость вычисления координат точек теодолитного хода
  2. Вихревое электрическое поле. Правило Ленца. Самоиндукция. Индуктивность
  3. Вопрос 6. Правило сложения дисперсий
  4. Вынос точек с проектными отметками
  5. Диаграмма состояния сплавов, имеющих неограниченную растворимость в жидком, твёрдом состоянии. Правило отрезков.
  6. Золотое правило нравственности - основной закон морали. Категорический императив И. Канта и отражение в нем основных функций культуры.
  7. Как правило, Государственная Дума рассматривает внесение законопроекта в трех чтениях.
  8. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА (СИСТЕМЫ ТОЧЕК).
  9. Контроль местонахождения зонда
  10. Метод угловых точек

1) Найти область определения функции f(x).

2) Найти все критические точки функции f(x). Для этого найти производную, решить уравнение f ¢(x)=0 и найти точки x из области определения, в которых f ¢(x) не существует.

3) Разбить область определения критическими точками на промежутки и в них найти знаки производной.

4) В промежутках, где производная положительна, функция возрастает, а в промежутках, где производная отрицательна, функция убывает.

5) Точки экстремума ищем среди критических точек. Пусть x0 – критическая точка. Если в интервале слева от x0 производная положительна (отрицательна), а справа отрицательна (положительна), то x0 - точка максимума (минимума).

Замечание 10. Если в интервале слева и справа от x0 производная имеет один и тот же знак, то x0 не является точкой экстремума. При этом, если функция непрерывна в этой точке, то функция монотонна в целом в этих двух интервалах (рис 3а).

 

  Рисунок 3  

Пример.13) Исследовать функцию на экстремум и монотонность.

Решение. 1) Область определения – множество всех действительных чисел R.

2)

Найдем критические точки. Решим уравнение = 0: -критическая. не существует при x (x – 4) = 0 x = 0 или . Эти точки входят в область определения функции, следовательно, являются критическими.

3) Разобьем область определения R критическими точками 0, 2, 4 на интервалы (– ∞, 0), (0, 2), (2, 4), (4, +∞) (рис. 3а), в каждой из которых производная сохраняет знак. Найдем знаки производной в этих интервалах. Для этого выберем по одной точке из этих интервалов (например, –1(– ∞, 0), 1(0, 2), 3(2, 4), 5(4, +∞)) и определим знаки производной y¢ в этих точках: y¢(-1) < 0, y¢(1) < 0, y¢(3) > 0, y¢(5) > 0. Следовательно, y¢ < 0 в интервалах (– ∞, 0), (0, 2) и y¢ > 0 в интервалах (2, 4), (4, +∞).

4) Функция убывает в интервалах (– ∞, 0) и (0, 2), возрастает в интервалах (2, 4) и (4, +∞). Однако можно сделать более сильный вывод. В самом деле, в окрестностях критических точек x = 0 и x = 4 производная не меняет знака, значит, они не являются точками экстремума. В силу замечания 10 функция убывает в интервале (– ∞, 2) и возрастает в интервале (2, +∞). Заметим, что y¢(0) = – ∞, y¢(4) = +∞, следовательно, в точках (0, 0) и (4, 0) касательные параллельны оси Оу (рис.3б).

5) Критическая точка x = 2 является точкой минимума (рис. 3а).

На рисунке 3б изображен схематически график функции .

12. Направление выпуклости функции. Точки перегиба.Пусть функция y=f(x) имеет конечную или бесконечную производную в каждой точке интервала Х = (а, b). Обозначим Г(Х) дугу графика функции f(x), соответствующую интервалу X.

Определение 5.Если дуга Г(Х) лежит не ниже (не выше) касательной к графику функции y=f(x), проведенной в любой точке MГ(Х), то функция или график функции называется выпуклым вниз (соответственно выпуклым вверх) в интервале X (рис. 4а).

Точка на графике функции, в которой существует касательная к графику функции, называется точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг графика с разными направлениями выпуклости (рис. 4б,4в).



  Рисунок 4  

Заметим, что в точке перегиба требуется существование касательной к графику.

В некоторых учебных пособиях выпуклую вверх функцию называют выпуклой, а выпуклую вниз функцию - вогнутой. Мы будем также пользоваться этими терминами, когда это удобно.

Теорема 4 (достаточное условие выпуклости вверх и вниз). Если функция f(x) дифференцируема дважды в интервале и в ней f ² (x) > 0 (f ²(x) < 0), то f(x) является выпуклой вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале X.

Необходимое условие точки перегиба. Если M0 (x0, f(x0)) - точка перегиба функции f(x), то либо и f ²(x0) = 0, либо f ²(x0) не существует (рис. 4б, 4в). Следовательно, абсциссы точек перегиба нужно искать в тех значениях x, при которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба.Пусть функция f(x) имеет производную (может быть бесконечную) в точке x0, существует вторая производная в проколотой окрестности точки x0 и либо f ²(x0) = 0, либо f ²(x0) не существует. Тогда если при переходе через x0 f ²(x) меняет знак, то (x0, f(x0)) является точкой перегиба.


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Экстремумы функции | Правило нахождения точек перегиба и промежутков выпуклости вверх и вниз

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 266; Нарушение авторских прав


lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.002 сек.