Оценка приведенной стоимости ренты пренумерандо

Приведенный денежный поток ренты пренумерандо имеет вид (рис. 5).

Таким образом, приведенная стоимость ренты пренумерандо находится путем суммирования всех ее элементов наращенных по схеме сложных процентов, т.е.:

или

(15)

где PV_pre – приведенная стоимость ренты постнумерандо.

Таким образом, каждый элемент ренты пренумерандо подвергается дисконтированию на один раз меньше, чем у рент постнумерандо. Очевидно, что приведенная стоимость ренты пренумерандо больше, приведенной стоимости ренты постнумерандо на (1+i).

0 1 2 3 ..... n-1 n

R₁

R₂ / (1+i)

R₃ / (1+i)²

.....

R_n / (1+i)^n-1

Рис. 5. Процесс нахождения приведенной стоимости ренты пренумерандо

Точно такое же правило действует (элемент ренты пренумерандо подвергается дисконтированию на один раз меньше) и для постоянных рент.

Для годовых рент с m-разовым начислением процентов используется следующая формула:

(16)

Для р-срочных рент с m-разовым начислением процентов используется следующая формула:

(17)

Оценка современной стоимости суммы предполагаемого дохода необходима для принятия любого инвестиционного решения: основным критерием стоимостной оценки является сравнение величины необходимых инвестиционных затрат Iо и современной стоимости будущего дохода РVo.

Если PVo > Io , инвестиция целесообразна,

Если PVo <= Io, инвестицию следует отклонить.

Это вполне естественно, ведь отказ от сегодняшнего потребления – это предпочтение большего блага в будущем. Следующий вопрос приведет нас к тому, что решение физического лица, осуществляющего инвестиции за счет личных средств, зависит от его предпочтений в отношении времени потребления.

4. Модель «инвестиции-потребление» и теорема о разделении

Решения населения о потреблении и сбережении играют важную роль в объяснении инвестиционной деятельности и экономического роста. Основополагающая модель, иллюстрирующая зависимость текущего потребления от будущих доходов, предложена Ирвингом Фишером. Рассмотрим простую (однопериодную) версию этой модели.

Предполагается, что индивид рассматривает только два временных периода (например, «молодость» и «старость», «сейчас» и «потом»);

К концу второго периода индивид тратит весь накопленный доход;

Индивид (потенциальный инвестор) знает заранее доход как в первом периоде, так и во втором;

Процентная ставка по займам совпадает с процентной ставкой по сбережениям и не меняется со временем.

Обозначим ставку процента – r, потребление в первом периоде С1, во втором – С2, доходы – Y1 и Y2 соответственно.

В первом периоде индивид потребляет С1 и сберегает (Y1 – С1). Во втором – потребляет весь доход Y2 и сбережения первого периода, увеличенные с учетом процентной ставки по сбережениям:

С2 = Y2 + (Y1 – C1)(1+r) (18)

Сбережения Y1 – C1< 0, если в первом периоде индивид потребляет больше текущего дохода, занимая деньги под свой доход второго периода.

Из соотношения (18) следует

C1 + C2/(1+r) = Y1 + Y2/(1+r) (19)

Соотношение (19) показывает, что дисконтированное к первому периоду суммарное потребление совпадает с дисконтированным суммарным доходом. Это ограничение называется межвременным бюджетным ограничением.

Когда инвестиции осуществляются за счет личных средств, решение зависит от предпочтений в отношении времени потребления.

В терминах теории полезности можно считать, что потребитель решает задачу максимизации полезности U(C1,C2) → max, при условии (19). Напомним, здесь U(C1,C2) - функция полезности при наборах благ С1 и С2. Выбор производится между благом «потребить сейчас» и «потребить потом».

Из курса микроэкономики известно, что оптимальное решение находится в точке касания кривой безразличия и линии бюджетного ограничения (на рисунке – точка А).

Рис. 6. Оптимальное решение потребителя

В точке А предельная норма замещения потребления в первом периоде потреблением во втором периоде равна отношению цен рассматриваемых благ или тангенсу угла наклона бюджетного ограничения MRS = 1+r.

Увеличение ставки процента приводит к тому, что меняется соотношение цен потребления в первом и втором периоде. Потребитель теперь может больше чем раньше потребить в будущем, отказываясь от единицы потребления в настоящем.

Соответственно, потребители могут быть условно разделены на два типа:

- инвесторы (кредиторы, сберегатели), те, кто предпочитает инвестировать часть дохода в первом периоде, чтобы больше потратить во втором;

- заемщики – те, кто предпочитает занять под доход второго периода, чтобы больше потратить в первом.

Инвестиция понимается как уменьшение текущего потребления для достижения более высокого уровня потребления в будущем.

При росте ставки процента инвесторы получают больший доход на сбережения первого периода, поэтому их доход во втором возрастает. Инвестор сможет потребить больше, чем раньше в обоих периодах (C2**), для заемщика рост процентной ставки уменьшает потребление в первом периоде. Конкретный результат взаимодействия эффекта дохода и эффекта замещения зависит от конкретной функции полезности. Общая зависимость приведена на рисунке 7.

Основной заслугой модели Фишера является обоснование межвременного характера потребительских решений. Эти идеи послужили отправной точкой теорий потребления, предложенных Ф.Модильяни и М. Фридманом, а также всех их современных модификаций.

Рис.10 Изменение решения сберегателя при росте ставки процента

Рассмотрим пример принятия решения потенциальным инвестором, имеющим 10000.Ставка банковского кредита – 10% годовых. Инвестору нужно решить, какую часть суммы положить на депозит, какую – потратить. Однопериодная модель Фишера позволяет установить зависимость между той суммой, которую он потратил в нулевой момент времени и той суммой, которая у него будет через год. (см. рис.8)

Воспользуемся соотношением (18) и предположим, что инвестор принимает решение потратить 7000. Сбережение 3000 позволит через год потратить 3300. Для определения оптимума инвестору остается определить кривую безразличия, то есть решить, какие суммы в будущем и сейчас для него равноценны.

Рис.11 Выбор инвестиционного решения

В дальнейшем Тобиным было показано, что решения об инвестициях и потреблении могут быть разделены. Разделение касается инвестиционных решений и личных предпочтений. Оно означает, что инвестор может отделить решение о целесообразности инвестиций (оно зависит от ожидаемого дохода и процентной ставки) от решения об организации своего потребления во времени (оно зависит от процентной ставки, размеров богатства и личных предпочтений). Строго говоря, на эффективном рынке решение зависит только от дисконтированной суммарной величины дохода и процентной ставки.

Теорема о разделениигласит, что индивидуальная расположенность к риску не играет роли для состава инвестиций. Известно множество формулировок этой теоремы: например, «Выбор компанией инвестиций не зависит от отношения владельцев к данным инвестициям», «Выбор инвестором рискованного инвестиционного портфеля осуществляется независимо от его отношения к риску». Эти соображения комментируются в теме 4, поскольку тесно связаны с моделью САРМ.

5. Виды и временная структура процентных ставок. Теории временной структуры

Процентная ставка - это обещанная ставка доходности по заимствованным средствам.

Виды процентных ставок:

1.Номинальная(денежная) процентная ставка – это процентная ставка с учетом инфляции; ставка, по которой сегодняшние деньги можно обменять на завтрашние.

2.Реальнаяпроцентная ставка – это номинальная процентная ставка за вычетом процента инфляции (точный результат дает известная формула Фишера);

3.Базисная (эталонная) процентная ставка - минимальная, на которую согласен инвестор по финансовым активам с сопоставимым уровнем риска и периодом владения;

4.Доходность к погашению (yield to maturity) - единая ставка сложных процентов, которая позволила бы инвестору получить все платежи по данной ценной бумаге, как если бы он вложил средства в банковский вклад. Это наиболее распространенный способ измерения доходности по облигациям.

5.Эффективнаяпроцентная ставка (Effective percentage rate). Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процента. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту:

EPR = (1+r/m)ⁿ-1

ERP – эффективная процентная ставка (ставка сравнения).

Для описания остальных видов процентных ставок, а точнее – способов расчета процентной ставки используется понятие «безрисковые ценные бумаги» (в реальности активов совсем без риска не существует: ведь даже государственные обязательства, для оплаты по которым государство может напечатать денег, т.е. без кредитного риска, не свободны от риска обесценивания при инфляционном скачке);

6.Спот-ставки– доходность государственных бескупонных облигаций;

7.Форвардные ставки – предполагаемые в будущем спот-ставки.

Остановимся подробнее на спот-ставках.

Доходности государственных бескупонных облигаций являются базисными процентными ставками при определении требуемой доходности по негосударственным облигациям с тем же сроком погашения.

Каждый платеж из денежного потока по облигации должен быть дисконтирован по своей процентной ставке, соответствующей периоду получения платежа.

В каждый конкретный момент времени, спот-ставка – это доходность к

погашению по бескупонной облигации.

Спотовая ставка для периода в п лет — это ставка для облигации с нулевым купоном, до погашения которой остается п лет. Например, эмитируется дисконтная облигация на 1 год с доходностью 10%. Это означает, что ставка спот на один год равна 10%. Выпускается облигация на 2 года с доходностью 11%. Это означает, что спотовая процентная ставка на два года равна 11% и т,д, Располагая данными о ставках спот за п периодов начисления процента и цене купонной облигации за период n + 1, можно рассчитать теоретическую ставку спот для периода n + 1.

Набор спот-ставок s1,s2,…st с различными сроками погашения (т.е. связь между спот-ставками и сроками погашения) называется временной структурой процентных ставок.

В общем виде спот-ставка за t лет является членом следующего уравнения:

Р_об = N_t/(1+S_t)^t (20);

Р_об цена бескупонной облигации текущая, которая погашается через t лет по цене N_t;

N_t – сумма погашения;

S_t – спот-ставка.

Спот-ставку для облигации с 2-х летним сроком погашения можно определить из уравнения

Р₂=С₁/(1+S₁)¹+N₂/(1+S₂)² (21)

ПРИМЕР: Государственная бескупонная облигация со сроком погашения один год имеет годовую доходность 6%, которая совпадает с годовой спот-ставкой. Доходность 2-х годичной бескупонной облигации равна 7% и совпадает с 2-х годичной спот-ставкой. Необходимо вычислить спот-ставку для гипотетической 3-х годичной бескупонной облигации. Известно, что купонная ставка для 3-х годичной купонной облигации равна 9%, номинал облигации равен 100 д.е. Продается по 95 д.е.

Рассмотрим потоки платежей:

1год: 0,09*100=9;

2год:0,09*100=9;

3год: (0,09*100)+100=109.

по формуле стоимости облигации (см.тему № 2)

цена = 95=9/(1+S₁)¹+9/(1+S₂)²+109/(1+S₃)³.

95=9/(1+0,06)+9/(1+ 0,07)²+109/(1+S₃)³.

(1+S₃)³=109/(95 - (8.49+7.86));

1+S₃=1.385^1/3=>S₃=1.385^1/3-1= =1.115-1=0.11,5

S₃=11,5%, это теоретическая 3-х годичная спот-ставка, которую рынок предлагал бы по трехгодичным бескупонным облигациям, если бы такая ценная бумага на самом деле существовала.

Таким образом, располагая данными о спот-ставках за (n-1) период начисления процентов и цене купонных облигаций можно рассчитать теоретическую спот-ставку для n-го периода.

Р_об = , (22)

где S_t(S₁,S₂,…)-известные спот-ставки для соответствующих периодов;

S_n - искомая спот-ставка для n-­го периода.

Стоимость любой купонной облигации может рассматриваться как сумма всех составляющих ее “как бы бескупонных облигаций в размере купонных выплат”. Ведь для определения спот-ставки на два года на рынке в обращении может и не оказаться подходящей бескупонной, желательно государственной облигации для определения эталонной ставки.

Кривая доходности - это графическое изображение связи доходности облигаций одного кредитного качества с различными сроками погашения, то есть временной структуры.

В один и тот же момент на рынке обращаются облигации, до погашения которых остается различное время. Поэтому можно построить график зависимости доходности бумаг от срока, остающегося до погашения. Для этой цели используют облигации, с одинаковыми характеристиками, например, относящимися к одному классу риска. По оси ординат откладывается уровень процентной ставки, по оси абсцисс — время до погашения.

В общем виде кривая доходности может служить эталоном при сравнении доходностей в других секторах долгового рынка (банковских займов, ипотек, корпоративных облигаций).

Рис.12 Формы кривой доходности

Стандартный (нормальный) вид кривой доходности изображен на рисунке а). Однако кривая доходности может быть параллельна оси абсцисс. Это означает, что процентная ставка одинакова для облигаций с различными сроками погашения (г).

Рисунок а) показывает: процентная ставка возрастает по мере увеличения срока обращения облигаций. Данная форма кривой наиболее характерна для рынка. Но возможна и обратная конъюнктурная ситуация, когда среднесрочные ставки по облигациям выше краткосрочных и долгосрочных б). Построив кривую доходности, аналитик получает картину распределения процентных ставок во времени.

Для анализа ситуации на рынке наиболее важна кривая доходности, построенная на основе облигаций с нулевым купоном. Аналитик использует ее для определения возможности совершения арбитражной операции. Любую купонную облигацию можно представить как совокупность облигаций с нулевым купоном, номинал которых равен купону и нарицательной стоимости облигации (для последнего платежа) и выпущенных на сроки, соответствующие срокам погашения купонов и облигации. Доходность купонной облигации и облигаций с нулевым купоном должна быть одинакова, в противном случае возникнет возможность совершить арбитражную операцию. Например, если доходность облигаций с нулевым купоном ниже, чем купонной облигации, то инвестор купит купонную облигацию и продаст пакет облигаций с нулевым купоном, платежи по которым будут соответствовать по размеру и времени платежам по купонной облигации.

Форвардные ставки..

Годовая спот-ставка – это ставка, которую рынок установил для оценки приведенной стоимости одного рубля, который будет выплачен государством через год. Двухгодичная – для рубля, который будет выплачен через два года.

Как они связаны? Стоимостью рубля через год, при условии, что выплачен он будет через два года.

Форвардные ставки - это будущие процентные ставки вычисленные по спот-ставкам или по кривой доходности. Они показывают связь между спот-ставками и характеризуют рыночные ожидания относительно будущих процентных ставок.

Рассмотрим определение форвардных ставок на условном примере.

ПРИМЕР: Спот-ставка на один год составляет 15%, на два года - 18%. Определить форвардную ставку (f) для второго года, т.е. спот-ставку, которая будет на рынке через год для бескупонной облигации, выпущенной на год номиналом 3000 ден. ед.

У инвестора с инвестиционными планами на два года имеются две альтернативы: 1) купить бескупонную облигацию, выпущенную на два года номиналом 3000 ден ед.;

2) купить облигацию сроком погашения один год и после ее погашения купить другую облигацию с таким же сроком погашения.

В соответствии с первой альтернативой:

доход в конце первого года составит 3+3S₂=3(1+S₂).

доход в конце второго года составит 3(1+S₂)+3(1+S₂)S₂ = 3(1+S₂)(1+S₂) = 3(1+S₂)²

В соответствии со второй альтернативой:

доход в конце первого года составит 3+3S₁=3(1+S₁).

доход в конце второго года составит 3(1+S₁)+3(1+S₁)f = =3(1+S₁)(1+f).

Для инвестора обе альтернативы одинаковы, если одинаковы получаемые доходы:

3(1+S₂)² = 3(1+S₁)(1+f);

f = (1+S_t)^t/(1+S_t-1)^t-1-1.

f = (1+0,18)²/(1+0,15)-1 = 1,18²/1,15-1 = 0,21 или 21%.

Если f<21%, то доход в конце второго года будет больше при реализации первой альтернативы.

Если f>21%, то доход в конце второго года будет больше при реализации второй альтернативы.

Если f=21%, обе альтернативы принесут одинаковый доход.

В общем виде форвардная ставка для периода (t-1,t) определяется через спот-ставки s_t и s_t-1

(23)

В свою очередь, спот-ставка может быть выражена через форвардные:

(24)

Можно интерпретировать два этих вида ставок следующим образом:

Спот-ставку можно представлять как процентную ставку, связанную со спот-контрактом. Такой контракт подразумевает немедленный заем денег. Затем должен быть возвращен вместе с процентами в определенный момент.

Форвардная – ставка, по которой заключается сейчас контракт на заем денег через год и возврат их через два (с нынешнего момента). Процентная ставка по одногодичному займу, указываемая сейчас в таком форвардном контракте (заметим, что проценты должны быть выплачены через два года), и определяется как форвардная ставка.

Фьючерсные рынки предоставляют форвардные контракты такого типа: например, в сентябре можно заключить контракт, по которому нужно в январе заплатить 1000 т.р. для покупки полугодичной облигации с выплатой 1050 т.р. в мае.

В отличие от форвардных текущие спот-ставки имеют всего один временной параметр – период, к которому они относятся.

Форвардные ставки определяются двумя временными параметрами – будущим периодом времени к которому они относятся, и будущий момент времени с которого они начинают действовать.

Таким образом, рынок оценивает ожидания инвесторов о будущих процентных ставках и учитывает эти ожидания в текущих значениях ставок с различными сроками погашения.

Теории временной структуры.

Набор спот-ставок – основной измеритель цены для государственных ценных бумаг ( а они, как известно, бывают только облигациями). Потому особенно интересно, почему краткосрочные и долгосрочные спот-ставки различаются по величине и почему разница между этими ставками меняется со временем (иногда долгосрочные больше, иногда – краткосрочные). Ответы на эти вопросы пытаются дать различные теории временной структуры ставок.

Наиболее известны следующие теории временной структуры ставок:

- теория чистых (непредвзятых, несмещенных) ожиданий;

- теория ликвидности временной структуры (наилучшей, предпочтительной ликвидности);

- теория сегментации рынка;
- теория предпочтительной среды обитания .

Дата добавления: 2014-04-17; просмотров: 498; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!