Что мы не учли при постановке?

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение. В действительности, по крайней мере:

1) ресурсы могут быть взаимозаменяемы;

2) затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (постоянные и переменные);

3) объемы ресурсов не строго фиксированы, так могут продаваться, покупаться, сдаваться в аренду;

4) ресурсы неоднородны и разные их составляющие по разному влияют на выпуск;

5) цена продукта может зависеть от объема реализации (неконкурентный рынок), то же - и цена ресурса;

6) фирма может использовать не одну, а выбирать из нескольких технологий, характеризующихся определенными сочетаниями ресурсов;

7) размер прибыли может быть оценен по-разному, это, например, зависит от налоговой системы;

8) предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, значит, целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

9) реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

10) на ситуацию могут оказать влияние случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Построение гипотезы: Построение модели в рамках линейного программирования (формулирование целевой функции, ограничений и граничных условий), несмотря на простоту модели, даст решение, приемлемое в реальной обстановке.

Формализация (построение математической модели – в виде формул или алгоритмов): включает в себя выбор переменных и установление связей между ними. В нашем случае это три неравенства, ограничивающие затраты ресурсов и выражение для расчета прибыли в качестве целевой функции.

Введем обозначения для эндогенных переменных – тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не известны заранее. В нашем случае – это неизвестные объемы производства x₁...x_n.

Опишем экзогенные переменные (заданные вне модели, то есть известные заранее). В задаче заданы количества К, L и количества сырья R, а также коэффициенты их расхода на единицу продукции каждого вида: к_i, l_i, r_i.

Для каждого вида продукции, расходов ресурсов на единицу продукции и для прибыли на единицу р_i мы ввели индекс i, он меняется от 1 до n. Индексы позволяют нам записать связи в наиболее компактной, удобной для восприятия форме.

Закончив описание переменных и параметров, переходим к установлению связей между переменными задачи.

Совокупный расход каждого вида ресурса не должен превышать допустимое значение:

x₁× к₁+ x₂× к₂+ x_n× к_n<= K ü

x₁× l₁+ x₂× l₂+ x_n× l_n<= L ý- ограничения по ресурсам

x₁× r₁+ x₂× r₂+ x_n× r_n<= R þ

x₁× p₁+ x₂× p₂+ x_n× p_n®max - целевая функция (размер прибыли)

Мы сформулировали задачу линейного программирования - известному математическому методу. Далее пользуясь методом и подставляя реальные значения, мы можем дать руководителям фирмы вполне конкретные рекомендации по плану выпуска продукции. Следует отметить, что не всегда задача сводится к известным математическим приемам, она может потребовать разработки и нового способа решения.

Анализ адекватности модели - последний этап моделирования. Здесь, например, можно принять во внимание, что расходы ресурсов на единицу продукции, и другие экзогенные переменные являются случайными величинами. Поэтому достижение максимальной прибыли возможно лишь с вероятностью, определение которой и даст ответ на вопрос о приемлемости решения.

Для примера, опишем модель производства творога, сметаны, сыра. Здесь применяется относительно однородное сырье – молоко.

Пусть:

x₁ – количество творога, x₂ – количество сметаны, x₃ – количество сыра,

p₁=80, p₂=110, p₃=130 - цены на единицу продукта,

k₁=1,5; k₂=2; k₃=3,5 - капитал на единицу продукта,

l₁ =2; l₂=3; l₃=4 - труд на единицу продукта,

r₁=1,5; r₂=2,5; r₃=4 - сырье на единицу продукта,

K=50 - всего капитала,

L=50 - всего трудовых ресурсов,

R=50 – всего сырья.

Тогда получаем конкретную модель:

x₁× 80+ x₂× 110+ x₃× 130 ® max - целевая функция (размер прибыли)

x₁× 1,1+ x₂× 2+ x₃× 2<= 50 ü

x₁× 1,2+ x₂× 1,6+ x₃× 2,4<=50 ý- ограничения по ресурсам

x₁× 1,5+ x₂× 2+ x₃× 1<=50 þ

Далее используя компоненту Поиск решения в приложении Microsoft Office Excel 2003, ввести данные в форму настройки поиска решений, предварительно подготовив нижеследующую таблицу.

Таблица 2

Пример 2.

Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p₁=7, p₂=3 и доходе I=55, со следующими функциями полезности:

U=(x₁-1)^3/4×(x₂ –3)^1/3®max

Изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

Пояснение к решению задачи:

Функция полезности U в модели Стоуна характеризуется минимальным объемом потребления x₁⁰ _, x₂⁰ и коэффициентом полезности для каждого из товаров a₁ и a₂, соответственно. В нашем случае x₁⁰ =1_, x₂⁰=3, a₁=3/4 и a₂=1/3.

Функция спроса имеет вид:

x_i= x_i⁰+ a_i (I - p_j x_j⁰) / [p_i a_j] , где i = 1..n – вид товара.

Используя формулу, получаем:

x₁= 1+0,75*(55-7*1-3*3)/(7*(0,75+0,33)) = 4,8690

x₂= 3+0,33*(55-7*1-3*3)/(3*(0,75+0,33)) = 6.9722.

; 6.9722-3) =4.36894

Далее составим таблицу с допустимым множеством значений и построим кривые безразличия и прямую бюджетного ограничения.

Рисунок 1

Пример 3.

Для оформления офиса фирма приобретает живые и искусственные цветы. Цена за единицу товара 4 и 11 условных денежных единиц соответственно. С определенной регулярностью фирма приобретает 8 живых цветов и 3 искусственных.

Общая полезность приведена в таблице 3.

А) Каковы расходы фирмы?

Б) Какую полезность она получает от потребления такой комбинации товаров?

В) Рассчитайте предельную полезность, получаемую от потребления живых и искусственных цветов?

Г) Изобразите на рисунке кривую предельной полезности искусственных цветов.

Д) Можете ли вы установить, максимизирует ли фирма полезность?

Е) Какую полезность она получит, если все средства будет тратить на покупку искусственных цветов?

Ж) Рассчитайте отношение предельной полезности к цене для каждого из товаров.

З) При какой комбинации двух товаров полезность окажется максимальной?

Таблица 3

Количество	Живые цветы	Искусственные цветы
5

Пояснение к решению задачи:

А) Расходы фирмы I=p₁*x₁+p₂*x₂=4*8+11*3=65 (у. е.).

Б) Общая полезность U=u₁(8)+u₂(3)=289+820=1109 (ютил).

В) Предельная полезность – это полезность от потребления последней единицы товара, например, предельная полезность от приобретения шестой вазы живых цветов

mu₁(6) = u₁(6) - u₁(5) = 247 – 218 = 29 (ютил).

Остальные данные приведены в таблице 4.

Таблица 4

Г)

Рисунок 2

Рисунок 3

Д) Существуют наборы, дающие большую полезность при тех же финансовых возможностях, например, при покупке набора 2 и 5 требуется

4*2+11*5 = 63 (у. е.),

при этом достигается:

U=u₁(2)+u₂(5)=107+1060=1167 (ютил).

Е) Максимально возможное количество искусственных цветов, которые можно приобрести на 65 у. е. (см. вопрос А)

x2= I /p₂= 65/11=5.

Следовательно

U= u₂(5) = 1060 (ютил).

Ж) Отношение предельной полезности к цене каждого из товаров приведены в таблице 4.

З) Чтобы определить комбинацию товаров, дающую оптимальную полезность составим таблицу всевозможных наборов в пределах располагаемых средств.

Таблица 5

Из таблицы видно, что наилучший выбор – это 5 и 4. Максимальная полезность 1168 ютил.

Пример 4.

На графике изображены карта кривых безразличия производственной функции, показывающая возможные уровни производства при различных сочетаниях ресурсов: труда (x₁) и капитала (x₂). Точка А показывает реальное сочетание ресурсов (технологический способ). ВС – изокоста, показывает множество комбинаций ресурсов, расходы на покупку которых одинаковы.

Отметьте на графике точку, соответствующую ситуации снижения платы за капитал в 1,2 раза, при которой достигается оптимальное сочетание ресурсов при неизменных издержках.

Линия бюджетного ограничения ВС, или множество точек, соответствующих различным сочетаниям ресурсов при постоянном уровне производственных издержек, при снижении платы за капитал переходит в линию В₁С. Причем длина отрезка В₁С равна 1,2 отрезка ВС. Ордината точки В₁ соответствует максимально возможной величине ресурса x₂ при данном уровне издержек. Множество доступных технологических способов ограничено точками ОВ₁С. Оптимальное сочетание ресурсов, дающее максимальную прибыль, достигается в точке D касания линии бюджетного ограничения и кривой безразличия. Эта кривая безразличия находится правее и выше остальных, а значит, соответствует максимальному объему производства.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баканов М.И., А.Д. Шеремет Теория экономического анализа –М.: Финансы и статистика, 1996. –228 с.

2. Балашевич В.А. Математические методы в управлении производством – Минск, Вышейшая школа,1976, 336 с.

3. Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике – Новосибирск, 1995.-164 с.

4. Джонстон Дж.Эконометрия – М. Статистика, 1980. 444 с.

5. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экомике: Учебник. – М.: МГУ им.М.В.Ломоносова, Изд. «ДИС», 1997. – 368 с.

6. Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0 – СПб.: BHV – Санкт-Петербург, 1997. – 384 с.

7. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. Уч. пособие. – М.: Дело, 1998. – 248 с.

8. Микро-, макроэкономика. Практикум. /Под общ. Ред. Ю.А. Огибина. – СПб.: «Литера плюс», 1994. –432 с.

9. Цыгичко В.Н. Руководителю - о принятии решений – М.: Инфра – М, 1996. –272 с.

[1] Анисимов О.С. Развитие. Моделирование. Технологии 1996.

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 176; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!