Формула Стокса

Это соотношение, часто называемое преобразованием Гаусса-Остроградского, связывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности с тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью,

.

Эта зависимость показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

В механике жидкости широко используется формула, являющаяся следствием формулы Гаусса-Остроградского для скалярного поля

,

где j - скалярная функция.

4.5. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЯ.

Для уяснения дальнейшего материала рассмотрим более подробно, например, вектор . С этой целью выделим в движущейся жидкости частицу в виде тетраэдра (рис. 4.2).

Рисунок 4.2 - К определению тензора напряжений

Пусть - внешняя нормаль к четвертой (наклонной) грани тетраэдра, а площадь этой грани обозначим . Площади остальных граней – соответственно , которые можно рассматривать как проекции грани АВС на соответствующие оси координат.

Тогда

где - направляющие косинусы.

Обозначим объем тетраэдра , тогда действующая на него массовая сила будет , а массовая сила инерции - , где – вектор ускорения тетраэдра.

Поверхностная сила, действующая на наклонную часть, . Для остальных трех граней

Знаки «минус» свидетельствуют о том, что векторы направлены в стороны, противоположные координатным осям.

Запишем уравнение движения тетраэдра, которое в соответствии с законом движения механики, имеет вид

Масса ускорение = результирующая массовых сил +

+ результирующая поверхностных сил,

т.е.

.

Величины являются второго порядка малости, поэтому можно записать

.

Из этого равенства следует, что напряжение при произвольной ориентации нормали может быть определено, если известны напряжения в этой же точке для площадок, внешние нормали которых параллельны осям координат.

Проекции векторов на координатные оси будем обозначать

В этом обозначении первый подстрочный индекс указывает ось, перпендикулярную ориентации площадки, второй индекс – ось, на которую спроектировано напряжение.

Для уяснения сказанного выше рассмотрим параллелепипед, выделенный в движущейся жидкости (рис. 4.3).

Рисунок 4.3 - К определению двойных индексов напряжений

Из рисунка видно, что напряжения с одинаковыми индексами являются нормальными, а с разными индексами – касательными к площадкам параллелепипеда.

Приведенное выше выражение движения тетраэдра

в принятых нами обозначениях напряжений с двойными индексами будет иметь вид

Совокупность этих девяти составляющих компонентов напряжения образуют тензор напряжения. В матричной форме он запишется в виде

.

Доказано, что тензор напряжения является симметричным. Это означает, что величины, расположенные симметрично главной диагонали, равны, т.е.

Откуда следует, что для нахождения тензора напряжений достаточно знать не девять, как указывалось выше, а шесть скалярных величин.

К понятию тензора можно подойти и другим путем. Представим тензор как оператор, с помощью которого можно преобразовать вектор в вектор или векторы в векторы. На основании этого можем записать

,

где - выходной вектор, - входной вектор, - оператор, который и наз. тензором.

Существенным ограничением является то, что оператор должен быть линейным.

Таким образом, определить тензор – это означает задать закон (правило), по которому один вектор преобразуется в другой вектор.

Вязкость жидкости не проявляется, если она находится в состоянии равновесия, т.е. в этом случае касательные компоненты тензора равны нулю и действуют лишь нормальные , ориентированные по внешним нормалям (рис. 4.3). Они являются растягивающими напряжениями. Жидкое тело способно воспринимать лишь сжимающие усилия. Можно показать, что при отсутствии касательных напряжений , из чего следует, что нормальные напряжения в данной точке не зависят от ориентации площадки. Величины, численно равные нормальным напряжениям, но взятые с противоположным знаком, в гидромеханике называют давлением, либо более полно – гидростатическим давлением. Гидростатическое давление обозначают буквой р, т.е.

.

Т.о., гидростатическое давление, являясь скалярной величиной (как компонента тензора), не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

5. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ.

Проанализируем движения жидкой частицы, масса которой и поверхность .

Уравнение движения имеет вид

.

Для движущегося объема V, поверхность которого S, имеем

Преобразуем поверхностный интеграл в объемный с учетом того, что тензор напряжений имеет вид

,

где – направляющие косинусы.

Воспользовавшись известным из векторного анализа соотношением

применительно к тензору напряжений , получим

Подставив это выражение в исходное уравнение, получим

Но т.к. объем выбран произвольно и dV¹ 0, получим

Это и есть уравнение движения жидкости в напряжениях.

В проекциях на декартовы оси координат это выражение примет вид

Эта система включает девять неизвестных величин – три проекции скорости и шесть проекций напряжений. Проекции единичных массовых сил, как правило, известны из постановки задачи.