Составление линейных математических моделей

Задача линейного программирования является достаточно распространенной задачей принятия оптимальных решений в производственном менеджменте. Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) математически может быть сформулирована следующим образом:

Найти значения переменных X1, X2, ..., Xn, максимизирующих (минимизирующих) линейную форму

F ( ) = c1 * X1 + c2 * X2 + ... + cn * Xn (1)

при условиях

, (2-3)

xj 0, j = 1,...,p , (p n) . (4)

Соотношения (2-3) называются функциональными ограничениями, а (4) – прямыми.

Пример 1. Металлургическому заводу требуется уголь с содержанием фосфора не более 0.03% и с долей зольных примесей не более 3.25%. Завод закупает три сорта угля А, В, С с известным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать исходные продукты А, В, С, чтобы смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и имела минимальную цену?

Содержание примесей и цена исходных продуктов приведены в табл. 1.

Таблица 1

Построим математическую модель.

Обозначим:

Х1 – количество угля сорта А в тонне смеси;

Х2 – количество угля сорта В в тонне смеси, (переменные);

Х3 – количество угля сорта С в тонне смеси.

F( ) = 30×X1 + 30×X2 + 45×X3 - стоимость 1 т. смеси (целевая функция),

0.06×Х1 + 0.04×Х2 + 0.02×Х3 0.03 (%) - ограничение на содержание фосфора в смеси,

2×Х1 + 4×Х2+ 3×Х3 3.25 (%) - ограничение на содержание зольных примесей,

Х1+ Х2 + Х3 = 1 (т.) - ограничение на состав 1 т. смеси.

Окончательно, математическая модель имеет вид.

Определить количество угля сортов А, В, С (Х1, Х2, Х3) в тонне смеси, при которых достигается

F( ) = 30×X1 + 30×X2 + 45×X3

при ограничениях

0.06×Х1 + 0.04×Х2 + 0.02×Х3 0.03

2×Х1 + 4×Х2 + 3×Х3 3.25

Х1 + Х2 + Х3 = 1

Х1,X2,X3 0.

Пример 2. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0.5 кг.

Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определённым требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.

В табл. 2 приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:

¨ не менее 0.8% кальция;

¨ не менее 22% белка (от общего веса смеси);

¨ не более 5% клетчатки.

Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.

Таблица 2

Математическая формулировка задачи.

Введём следующие обозначения:

Х1 - содержание известняка в смеси (кг);

Х2 - содержание зерна в смеси (кг);

Х3 - содержание соевых бобов в смеси (кг);

Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят:

20 000 * 0.5 = 10 000 кг.

Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:

0.38×Х1 + 0.001×Х2 + 0.002×Х3 0.008 * 10 000,

0.09×Х2 + 0.50×Х3 0.22 × 10 000,

0.02×Х2 + 0.08×Х3 0.05 × 10 000.

Окончательный вид математической формулировки задачи:

F( ) = 0.04×X1 + 0.15×X2 + 0.40×X3

при ограничениях

Х1 + Х2 + Х3 = 10 000

0.38×Х1 + 0.001×Х2 + 0.002×Х3 80

0.09×Х2 + 0.50×Х3 2200

0.02×Х2 + 0.08×Х3 500

Хj 0, j = 1, 2, 3.

Пример 3. В отделе технического контроля (ОТК) некоторой фирмы работают контролеры разрядов 1 и 2. Норма выработки ОТК за 8-часовой рабочий день составляет не менее 1800 изделий. Контролер разряда 1 проверяет 25 изделий в час, причем не ошибается в 98% случаев. Контролер разряда 2 проверяет 15 изделий в час; его точность составляет 95%.

Заработная плата контролера разряда 1 равна 4 руб. в час, контролер разряда 2 получает 3 руб. в час. При каждой ошибке контролера фирма несет убыток в размере 2 рубля. Фирма может использовать 8 контролеров разряда 1 и 10 контролеров разряда 2. Руководство фирмы хочет определить оптимальный состав ОТК, при котором общие затраты на контроль будут минимальными.

Математическая формулировка задачи.

Пусть X1 и X2 обозначают количество контролеров разрядов 1 и 2 соответственно. Число контролеров каждого разряда ограничено, т.е. имеются следующие ограничения:

X1 £ 8 (разряд 1)

X2 £ 10 (разряд 2)

Ежедневно необходимо проверять не менее 1800 изделий. Поэтому выполняется неравенство

8×25×X1 + 8×15×X2 = 200×X1 + 120×X2 ³ 1800,

или 5×X1 + 3×X2 ³ 45.

При построении целевой функции следует иметь в виду, что расходы фирмы, связанные с контролем, включают две составляющие:

1) зарплату контролеров.

2) убытки, вызванные ошибками контролеров.

Расходы на одного контролера разряда 1 в час составляют

4 руб. + 2×25×0,02 руб. = 5 руб.

Расходы на одного контролера разряда 2 в час составляют

3 руб. + 2×15×0,05 руб. = 4 руб.50 коп.

Следовательно, минимизируемая целевая функция, выражающая ежедневные расходы на контроль, имеет вид

8×(5×X1 + 4,5×X2) = 40×X1 + 36×X2.

Теперь можно сформулировать следующую задачу ЛП

F( ) = 40×X1 + 36×X2

при ограничениях

X1 £ 8

X2 £ 10

5×X1 + 3×X2 ³ 45

X1,Х2 ³ 0 .

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 446; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!