Нормальное уравнение плоскости

Пусть ОК = p, а α, β, g — углы, образованные единичным вектором ё с осями Ох, Оу и Οz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки Μ на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора r всегда равно р:

(12.8). Это Уравнение называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов f и e, уравнение (12.8) перепишем в виде (12.9)

Это Уравнение называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

6. Правила дифференцирования.

1.(u±v)' = и' ±v'

2.Правило Лейбница: (u * v)' = u'v + uv';

d(fg)=gdf +fdg , d(fg)=(fg)`dx=(f `g+fg`)dx=gf `dx + fg`dx= gdf +fdg
3.(u/v)’=(u’v-uv’)/u²

4.v’_x= v’_u* u’_x, если v=f(u), u=φ(x)

5.v’_x= 1/(x’_v) , если v=f(х), х=φ(у)

6.(с*u)'=с*u'

7.(f^g)`=(e<sup>glnf</sup>)`=f^g(f`g/f+g`lnf),f>0

8. f `=(lnf)`f , f>0

7.Производная по направлению.

Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных , - направляющие косинусы вектора .

Теорема. Если функция f дифференцируема в точке M0 , то

Доказательство. (Mt,M0)=t, (t > 0 ). f(M t) – f(M 0) = . Далее по определению производной по направлению получается требуемое неравенство

= =

Из последнего неравенства следует, что у дифференцируемой функции существует производная по любому направлению.

Градиент.

Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции и обозначается . Поскольку , где - угол между и , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции , а его модуль равен производной по этому направлению.

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 246; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!