ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА

В соответствии с теоремой Котельникова сигнал, описываемый непрерывной функцией с ограниченным спектром, полностью определяется своими значениями отсчитанными через интервалы времени , где - ширина спектра сигнала.

Для техники связи очень важна такая возможность представления
непрерывного случайного сигнала через совокупность его значений в дискретные моменты времени. Действительно, нет необходимости передавать все значения непрерывной функции времени, а достаточно посылать лишь его мгновенные значения с постоянной скоростью . Дискретизация непрерывных сообщений составляет основу построения систем передачи аналоговой информации цифровыми методами.

В настоящее время все страны осуществляют переход на цифровую сеть интегрального обслуживания (ЦСИО - ). В основе построения такой
сети лежит импульсно-кодовая модуляция (ИКМ), базирующаяся на теореме
Котельникова.

Важно помнить, что реальных сигналов со строго ограниченным спектром не существует, так как сигналы конечной длительности имеют бесконечные частотные спектры. В то же время конечная полоса пропускания каналов связи требует ограничения спектра передаваемых сообщений. Практически ширину спектра исходного сообщения ограничивают некоторой верхней частотой так, чтобы в диапазоне частот 0… была сосредоточена основная часть энергии сигнала ( ). Эту полосу частот принято называть практической шириной спектра , а спектром сигнала для частот пренебрегают.

В основе математического описания временной дискретизации непрерывных сообщений (сигналов) лежит периодическая последовательность
-импульсов с периодом . Следовательно, взятие отсчетов
исходного сообщения эквивалентно умножению его временной функции на последовательность -импульсов. Дискретизированная функция передаваемого сообщения будет представлять собой не что иное, как сигнал амплитудно-импульсной модуляции (АИМ).

Процедура преобразования непрерывного сообщения в последовательность отсчетов по Котельникову поясняется временными и спектральными диаграммами, приведенными на рисунках 6.2 и 6.3.

Отсчеты исходного сообщения могут быть переданы на противоположную сторону любым способом. На приемной стороне системы связи осуществляется восстановление исходного сообщения по принимаемой последовательности отсчетов.

В соответствии с рядом Котельникова непрерывная функция является разложением ее в ряд по ортогональной системе функций отсчета вида :

(6.1)

Рисунок 6.2-Представление непрерывного сигнала

последовательностью отсчетов

Рисунок 6.3-Спектральное представление дискретизированного сигнала

Таким образом, ряд Котельникова указывает на способ восстановления исходного сообщения по последовательности отсчетов путем формирования для каждого отсчета функции с соответствующей амплитудой и последующим суммированием всех функций. Техническим устройством, которое на воздействие в виде дельта-функции формирует отклик вида , является идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с полосой пропускания равной .

Процесс восстановления исходной функции по последовательно
сти отсчетов на приемной стороне показан на рисунке 6.4. На вход фильтра поступают через интервалы времени короткие импульсы с амплитудами, соответствующими (пропорциональными) отсчетам . Напряжение на выходе фильтра будет представлять собой сумму откликов фильтра на каждый из входных импульсов. Причем, в моменты времени только один из откликов
(на данный импульс) не равен нулю и максимален, а отклики от всех других
импульсов отсчета равны нулю. В остальные промежуточные моменты времени суммируется бесконечное количество откликов.

При практическом использовании теоремы и ряда Котельникова
для восстановления непрерывного сообщения по дискретным отсчетам неизбежно будут возникать погрешности восстановления, обусловливающие отличие принятого сообщения от передаваемого . Наиболее важной причиной этого является отличие характеристик реальных ФНЧ от идеального.

1 У идеального фильтра нижних частот амплитудно-частотная характеристика имеет прямоугольную форму, т.е.

(6.2)

а фазо-частотная характеристика - линейна. То есть идеальный ФНЧ с одинаковым коэффициентом передачи пропускает все частотные составляющие спектра входного сигнала в пределах полосы пропускания и
полностью отфильтровывает (подавляет) составляющие с частотами .

Реализовать фильтр с формой АЧХ (6.2) практически невозможно.
У реальных фильтров нижних частот АЧХ не обеспечивает резкого ограничения спектра на граничной частоте среза фильтра , а имеет наклонный участок определенной крутизны. Следовательно, в полосу пропускания фильтра
будут попадать и спектральные составляющие части спектра дискретизированного сигнала с поднесущей (рисунок 6.3,б). Кроме того, АЧХ реальных ФНЧ имеют также и заметную неравномерность в пределах полосы пропускания. Все это приведет к искажению формы сигнала на выходе ФНЧ, т.е. к увеличению ошибки восстановления.

2 Неидеальность АЧХ и ФЧХ реальных ФНЧ будут вызывать и неполное совпадение их импульсной характеристики

(6.3)

с функцией вида в моменты времени . Это приводит
к тому, что сигнал на выходе фильтра в моменты времени определяется
не одним отсчетом, а всеми (многими) предшествующими.

Рисунок 6.4-Процесс восстановления сигнала по отсчетам

3 Реальные фильтры имеют конечную "память" (конечное время запаздывания сигнала на выходе относительно входного -импульса) и, следовательно, будут суммировать одновременно конечное число отсчетов (вместо бесконечного в случае идеального ФНЧ). Это является причиной увеличения ошибки
восстановления.

Количественно погрешность восстановления, характеризующую степень несоответствия восстановленного сообщения исходному переданному , оценивают величиной относительной среднеквадратической ошибки

(6.4)

В частном случае при восстановлении прямоугольного импульса длительностью ошибка будет определяться выражением

(6.5)

где - интегральный синус, .

Министерство РФ по связи и информатизации

Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики

Г.Х Гарсков

А.А. Макаров

Г.А. Чернецкий

Теория

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 409; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!