![]() Главная страница Случайная лекция ![]() Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |
Сходимость распределений (слабая сходимость)
Ранее были введены три вида сходимости последовательностей случайных величин: по вероятности, почти наверное и в среднем. Еще один вид сходимости основан на близости законов распределения случайных величин, то есть на сходимости последовательности их функций распределения. Пусть заданы последовательность случайных величин Определение. Говорят, что последовательность функций распределения в каждой точке При этом также говорят, что последовательность случайных величин Смысл слабой сходимости: это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения. Выделим важный частный случай, когда предельная функция распределения Замечание. Отметим, что запись Следующее утверждение устанавливает соотношение между слабой сходимостью и сходимостью по вероятности. Лемма. 1. Из сходимости по вероятности следует слабая сходимость: если 2. Если предельное распределение является вырожденным, то сходимость по вероятности и слабая сходимость эквивалентны: если ▲ 1. Пусть Функцию распределения
Оценим вероятность и вероятность справа может быть выбором Для вероятности (так как, если С другой стороны, (здесь первое неравенство очевидно, а второе следует из того, что Таким образом, получаем для
Устремляя теперь
а предельный переход при 2. Пусть Докажем, что при этом Раскроем модуль под знаком вероятности и выполним ряд преобразований:
поскольку в точках Замечательный факт состоит в том, что слабая сходимость распределений полностью характеризуется с помощью характеристических функций.
Пусть Теорема непрерывности устанавливает, что соответствие между функциями распределения и характеристическими функциями является не только взаимнооднозначным (в соответствии с теоремой единственности), но и непрерывным в том смысле, что пределу в классе функций распределения относительно слабой сходимости соответствует предел в классе характеристических функций относительно поточечной сходимости. Теорема непрерывности является основным средством доказательства центральных предельных теорем (теорем о слабой сходимости распределений на числовой прямой).
Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 346; Нарушение авторских прав ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |