ЗАДАЧА №3

Задание: Для стержневой конструкции (рис.1) из условия прочности подобрать максимально допускаемую внешнюю нагрузку (выраженную через q). При найденной нагрузке определить перемещение точки приложения силы P₁.

Исходные данные: F = 700 мм²; l = 500 мм; a = 500 мм;P₁ = qa; P₂ = 3qa; M₁= 2qa². Материал всех стержней Сталь 5, с пределом текучести s_т = 270 МПа; E=2×10⁵ МПа.

Определим допускаемое напряжение для материала стержней (принимая для стали коэффициент запаса прочности n = 1.5).

.

Решение:

Рассмотрим равновесие абсолютно жесткого бруса, отбросив стержни (рис.2). В данном случае рациональнее заменить отброшенные стержни нормальными силами N₁, N₂, N₃, возникающими в них (неизвестные нормальные силы в стержнях следует показывать всегда в положительном направлении, то есть так, чтобы они были растягивающими). Для 3-х неизвестных сил можно составить 2 уравнения равновесия:

Следовательно, задача 1 раз статически неопределима, и необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Для этого рассмотрим возможное деформированное состояние конструкции (возможное означает допускаемое связями и включающее перемещение по всем возможным степеням упругой подвижности). В данном случае таким состоянием будет вертикальное поступательное перемещение жесткого бруса и его поворот, показанное на рис.3 (совершенно необязательно, чтобы выбранное направление перемещения и поворота совпадало с действительным). Шарниры А, В, С займут новые положения А₁, В₁, С₁, их вертикальные перемещения обозначим соответственно y₁, y₂, y₃. Очевидно, что эти перемещения связаны между собой условием, которое получается из рассмотрения трапеции АВСА₁В₁С₁: . Очевидно, что эти перемещения связаны с абсолютными удлинениями стержней: , откуда следует условие совместности деформаций: .

Выражая удлинения стержней по закону Гука, получим дополнительное уравнение связывающее нормальные силы в стержнях:

.

Решая совместно уравнения (1), (2), (5) выразим нормальные силы в стержнях: (для проверки следует убедится, что полученные нормальные силы удовлетворяют исходным уравнениям). Нормальные напряжения в стержнях выразятся следующим образом, чтобы их можно было сравнить в общем виде:

.

Так как материал стержней имеет одинаковую прочность на растяжение и сжатие, то опасным будет третий стержень (с наибольшим по модулю напряжением). Из условия прочности для 3-го стержня определим допускаемую внешнюю нагрузку, выраженную через q:

. Тогда внешние силы будут равны:

P₁ = 132.6×500 = 66300Н = 66.3кН; P₂ = 3×132.6×500 = 199000Н = 199кН; M₁ = 2×132.6×500² = 6.63×10⁷ Н×мм = 66.3кН×м.

Напряжения: ; ; , действующие в стержнях удовлетворяют условиям прочности.

Более сложная постановка задачи. (с учетом монтажных напряжений )

Будем считать, что стержень №2 до сборки конструкции имел длину, отличающуюся от номинальной на малую величину D = 0.5 мм (знак “+” означает, что начальная длина стержня больше номинальной). Уравнения (1), (2), (3) останутся без изменений, изменится только зависимость между перемещением шарнира B и удлинением стержня №2: , тогда уравнение совместности деформаций (4) перепишется в виде: , (смотри рис.4). Используя закон Гука, получим: , откуда выразим: . Решая совместно (1), (2), (5¢) выразим нормальные силы и напряжения в стержнях:

; ; .

Вычисляя величины вторых слагаемых в выражениях для напряжений (DE/l =200 МПа.):

убеждаемся, что монтажные напряжения не превосходят допускаемых и следовательно условие прочности при сборке конструкции не нарушается.

Очевидно, что стержень №2 сжат, из условия прочности второго стержня допускаемую внешнюю нагрузку, выраженную через q:

Стержни №1 и №3 могут оказаться как сжатыми, так и растянутыми, в зависимости от величины параметра внешней нагрузки – q,однако, проводя анализ (смотри предыдущую задачу)можно установить, что в любом случае напряжения сжатия в этих стержнях не превосходят соответственно31.8 МПа и 14.2 МПа. Следовательно, для стержней №1 и №3 достаточно записать только условия прочности на растяжение, кроме того, очевидно, что наибольшее растягивающее напряжение будет в стержне №3. Определим из условия прочности третьего стержня допускаемую внешнюю нагрузку, выраженную через q:

Учитывая, что должны выполнятся оба условия прочности, принимаем наименьшее значение q_max = 143.1 Н/мм.Тогда внешние силы будут равны:

P₁ = 143.1×500 = 71550Н = 71.55кН; P₂ = 3×143.1×500 = 214650Н = 214.65кН; M₁ = 2×143.1×500² = 7.16×10⁷ Н×мм = 71.6кН×м.

Для проверки найдем напряжения в стержнях и убедимся, что условия прочности выполняются:

.

Удлиннения стержней: ;

;

Перемещение шарниров А, В, Ссоответственно: ;

; - удовлетворяют условию совместности (3). Знак «-» означает, что действительные перемещения шарниров противоположны показанным на рис.4.

РАЗДЕЛ III

СДВИГ. РАСЧЕТЫ ПРОЧНОСТИ ПРИ СРЕЗЕ И СМЯТИИ.

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 246; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!