ЗАДАЧА №2

Задание: Для заданной балки нагруженной в плоскости XY (рис.1) из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения в виде нестандартного тавра (сечение показано там же). Определить перемещения и углы поворота некоторых сечений балки, используя дифференциальное уравнение упругой линии балки. Определить перемещения и углы поворота некоторых сечений балки, используя энергетический метод.

Исходные данные:l = 2000 мм; P = 20 кН; М = 10 кНм; q₁ = 15 кН/м; q₂ = 10 кН/м. Материал стержней чугун СЧ15-32, с модулем продольной упругости (модулем Юнга) - Е=1.1×10⁵ МПа и пределами прочности на растяжение и сжатие s_вр = 150 МПа, s_вс = 650 МПа.

Решение:

1).Определим допускаемые напряжения для материала стержней на растяжение и сжатие, коэффициент запаса прочности, учитывая что материал балки хрупкий, примем: n=2:

; .

2).Определим реакции опор из условий равновесия всей балки (см. рис.1): из суммы моментов относительно первой (левой) опоры получим –

из суммы моментов относительно второй (правой) опоры получим –

Из уравнения (1) выразим и определим реакцию левой шарнирной опоры R₂а из уравнения (2) реакцию левой шарнирной опоры R₁ (нагрузку подставляем в [кН] а размеры в [м]):

Для проверки правильности нахождения реакций составим еще одно уравнение равновесия:

. Найденные реакции удовлетворяют этому условию, следовательно, реакции определены верно.

3). Построим эпюры перерезывающих сил - Q и изгибающих моментов - M по участкам балки, используя метод сечений в следующей последовательности:

- в пределах каждого участка проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии x_i от начала координат, (которое выбирается, как правило, в центре тяжести крайнего левого сечения балки) затем любая (в нашем случае правая) часть балки отбрасывается;

- отброшенная часть заменяется внутренними силовыми факторами Q и M (т.е. внутренними силами взаимодействия частей балки, которые можно считать реакциями отброшенной части);

- силовые факторы Q и Mопределяются из условий равновесия оставшейся части, при этом искомые силовые факторы всегда следует показывать в положительных направлениях, так чтобы изгибающий момент стремился сжимать верхние волокна, а перерезывающая сила стремилась вращать рассматриваемую часть по часовой стрелке.

Первый участок 0 £ x₁ £ l . Перерезывающую силу Q₁(x₁)найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (смотри рис.1):

- очевидно, что эпюрой будет горизонтальная прямая. Изгибающий момент M₁(x₁)найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (см. рис.1): (здесь и далее при определении изгибающих моментов в сечении в качестве моментной точки удобно выбирать центр тяжести рассматриваемого сечения) откуда:

Второй участок l £ x₂ £ 3l . Перерезывающую силу Q₂(x₂)найдем из уравнения равновесия для рассматриваемой части (смотри рис.1):

.

Зависимость Q₂(x₂) –линейная, следовательно, эпюру строим по двум значениям на границах: и . Изгибающий момент M₂(x₂)найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (распределенную нагрузку при этом заменяем равнодействующей см. рис.1): , откуда следует:

. Зависимость M₂(x₂) –квадратичная, эпюра соответственно парабола, следовательно, кроме значений на границах участка:

;

требуется определить значение момента в вершине параболы. Координату вершины параболы - найдем как точку экстремума из условия: . Согласно дифференциальной зависимости: , значит, откуда определим: . Вычислим значение

По рассчитанным трем значениям моментов строим эпюру изгибающего момента на втором участке (см. рис.1).

Третий участок3l £ x₃ £ 4l . Перерезывающую силу Q₃(x₃)найдем из уравнения для равновесия рассматриваемой части (смотри рис.1):

откуда выразим перерезывающую силу - . ЗависимостьQ₃(x₃) –линейная, следовательно, эпюру строим по двум значениям на границах:

.

Изгибающий момент M₃(x₃)найдем из уравнения равновесия , рассматриваемой части (распределенные нагрузки при этом заменяем равнодействующими см. рис.1):

, откуда: . Зависимость M₃(x₃) –квадратичная, эпюра моментов парабола, следовательно, кроме значений на границах участка:

;

,

требуется определить значение момента в вершине параболы. Однако, используя дифференциальную зависимость легко определить, что вершина эпюры моментов совпадает с правой границей участка (x₃ = 4l), так как в этом сечении Q₃(x₃)=0. Значит, эпюру можно построить по значениям на границах участка, учитывая, что выпуклость эпюры моментов всегда направлена навстречу направлению распределенной нагрузки на участке (см. рис.1).

После построения эпюр Q и Mнужно выполнить их качественную проверку по дифференциальным зависимостям: по первой зависимости - можно проверить построение эпюры перерезывающей силы по приложенной (или отсутствующей) распределенной нагрузке; по второй зависимости - можно проверить построение эпюры изгибающего момента по эпюре перерезывающей силы. Кроме того, следует учитывать следующие правила: в сечениях, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Qимеет место разрыв (скачек) на величину приложенной силы; в сечениях, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре Mимеет место разрыв (скачек) на величину приложенного момента.

4). Для заданного поперечного сечения балки (рис.2)

определим положение нейтральной линии. Как известно, нейтральная линия совпадает главной центральной осью перпендикулярной грузовой плоскости, в нашем случае грузовой плоскостью является - XY, следовательно, нейтральная линия совпадает с осью Z_c. Выберем начальную систему координат как показано на рис.2. Разобьем сечение на простейшие фигуры – два прямоугольника верхний и нижний с площадями соответственно: и . Вычислим статический момент сечения относительно начальной оси Z как сумму статических моментов верхнего и нижнего прямоугольников где: соответственно координаты центров тяжести верхнего и нижнего прямоугольника. Положение нейтральной линии (оси Z_c) определится координатой . Определим момент инерции сечения относительно нейтральной линии (оси Z_c): , где - и соответственно моменты инерции верхнего и нижнего прямоугольников:

первые слагаемые в приведенных выражениях есть моменты инерции верхнего и нижнего прямоугольников относительно собственных центральных осей (параллельных оси Z_c), вторые слагаемые являются поправками Штейнера для перехода от собственных центральных осей прямоугольников к оси Z_c. Таким образом, момент инерции сечения относительно нейтральной линии Z_c : .

Вычислим моменты сопротивления сечения для верхних и нижних волокон:

; ,

где , соответственно расстояния от нейтральной линии до крайних верхних и крайних нижних волокон (см. рис.2).

5).Из условия прочности по нормальным напряжениям определим минимально необходимый размер поперечного сечения – b. Определим сначала опасные с точки зрения прочности сечения. Потенциально опасными будут сечения с наибольшим положительным и наибольшим отрицательным изгибающими моментами, так как поперечное сечение стержня несимметрично относительно нейтральной линии и материал стержня имеет разные допускаемые напряжения на растяжение и сжатие (в других случаях, если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то опасным будет сечение с наибольшим по модулю моментом). В каждом из этих сечений опасными могут оказаться точки наиболее удаленные от нейтральной линии, то есть крайние верхние или крайние нижние волокна. В самом общем случае для двух опасных сечений следует рассмотреть четыре условия прочности.(Все расчеты прочности и жесткости в дальнейшем удобнее вести в размерностях: [Н]; [мм]; [МПа]).

Записывая условия прочности для сечения с для сжатых (верхних) волокон: ;

для растянутых (нижних) волокон:

.

Из условия прочности для сечения с для растянутых (верхних) волокон (в формулах для расчета напряжений изгибающий момент всегда берется по модулю а знак напряжений определяется характером деформации соответствующих волокон): ;

для сжатых (нижних) волокон:

.

Максимальное значение - получилось из условия прочности растянутых (нижних) волокон сечения с моментом , значит самыми опасными являются эти волокна. Окончательно принимаем - .

Для проверки рассчитаем действующие в опасных напряжения и убедимся, что условия прочности выполнены. Для сечения с моментом : в верхних волокнах напряжения сжатия – ; в нижних волокнах напряжения растяжения – .

Для сечения с моментом : в верхних волокнах напряжения растяжения – ; в нижних волокнах напряжения сжатия – . По полученным значениям строим эпюры нормальных напряжений в опасных сечениях (см. рис.2). Определим величину момента инерции сечения относительно оси Z_c:

6).Выполним проверку прочности балки. Напряженное состояние в сечениях балки при поперечном изгибе является плоским и в прочностных расчетах в общем случае следует использовать теории прочности. Однако, в рассматриваемом примере сечение не является тонкостенным и следовательно касательные напряжения малы по сравнению с нормальными, кроме того большие по величине нормальные и касательные напряжения действуют в разных точках сечения (см. эпюры рис.2). Учитывая изложенное выше, проверку прочности можно свести к условию прочности отдельно по касательным напряжениям.

Допускаемые касательные напряжения ориентировочно можно определить как: . Для расчета касательных напряжений в поперечном сечении используем формулу Журавского: , где - статический момент отсеченной части (лежащей выше или ниже линии с координатой y, на которой определяются напряжения t) сечения относительно оси Z_c. Формула Журавского выведена в предположении, что касательные напряжения направлены по оси Y и постоянны по ширине сечения. Максимальные касательные напряжения возникают в сечении с . Для сечения любой формы статический момент отсеченной части максимален на нейтральной линии: , в рассматриваемом сечении на той же линии ширина сечения минимальна и равна , следовательно . Удобно вычислить как статический момент прямоугольника расположенного ниже Z_c. Тогда, условие прочности по касательным напряжениям выполняется. Для построения эпюры касательных напряжений в опасном сечении (см. рис.2) учтем, что на крайних волокнах верхних и нижних касательные напряжения всегда равны нулю, так как для них (нет отсеченной части). Кроме того, по формуле Журавского вычислим касательные напряжения на границе верхнего и нижнего прямоугольников при : - для ширины и соответственно в 4.5 раза меньше - для ширины .

Эпюра t(y) для верхнего прямоугольника условна и показана штрихами, так как ширина прямоугольника больше его высоты и формула Журавского здесь применима только для ориентировочных расчетов.

7).Запишем уравнение изогнутой оси балки, используя общие выражения метода начальных параметров, учитывая направление нагрузок показанное на рис.1:

- уравнение углов поворота поперечных сечений;

уравнение прогибов поперечных сечений. При определении прогибов или углов поворота в произвольном сечении с координатой - x в вышеприведенных уравнениях удерживаются только те слагаемые, которые учитывают нагрузки, приложенные к балке левее рассматриваемого сечения. Двойные черточки у слагаемых показывают, при каком условии данное слагаемое включается в вычисления.

Начальные параметры - имеют смысл соответственно прогиба и угла сечения находящегося в начале координат (при x = 0), и должны быть определены из граничных условий. В качестве граничных условий используем тот факт что прогибы сечений где расположены опоры равны нулю, которые могут быть записаны: ; . Подставляя условие (а) в выражение (4)получим следующее уравнение:

.

Подставляя условие (b) в выражение (4)получим соответственно:

Решая совместно уравнения (c), (d) определяем: и

Теперь, когда определены начальные параметры по формулам (3) и (4) можно определить угол поворота и прогиб любого сечения балки. Определим, например, прогиб среднего сечения второго участка (x = 2l):

Кроме того, определим прогиб крайнего правого сечения балки (x = 4l):

По рассчитанным прогибам можно построить приблизительную форму изогнутой оси балки смотри рис.1. При этом следует учитывать, что выпуклость изогнутой оси направлена вверх, если изгибающий момент отрицательный, а при положительном изгибающем моменте выпуклость изогнутой оси направлена вниз.

8). Определим перемещения сечения и угол поворота сечения и энергетическим способом, а именно способом Верещагина.

Сначала определим сначала , для этого приложим в искомом сечении единичную силу см. рис.3. Определим реакции опор, используя уравнения равновесия всей балки: из суммы моментов относительно опоры левой получим – , откуда , из . Строим эпюру единичного изгибающего момента (от действия только единичной нагрузки) по тем же правилам что и грузовую, описание построения эпюры опускаем в силу элементарности. Единичная эпюра представлена на рис.3, там же для удобства повторена эпюра грузового момента с обозначенными площадями участков и положением их центров тяжести (участки эпюры разбиты на простейшие фигуры для удобства определения площадей и центров тяжести). Теперь для определения нужно перемножить эпюры и по формуле Верещагина: , отрицательный знак означает, что

участок грузовой эпюры и единичная эпюра лежат на разноименных волокнах. Вычисляя

, симметричной (относительно середины участка) параболы - , криволинейного треугольника (парабола с вершиной на правой границе) - . Кроме того, на рис.3 показаны ординаты единичного момента в сечениях, где находятся центры тяжестей соответствующих участков эпюры грузового момента, значения которых - , , . Подставляя значения в формулу Верещагина (в размерностях – Н, МПа, мм) получим: , знак «-» означает, что перемещение направлено против направления единичной силы, то есть вверх. Таким образом, результат совпадает с полученным ранее.

Для определения к балке в сечении x=2l приложим единичный момент (см. рис.4). Составляя уравнение равновесия относительно левой опоры Þ , а из условия очевидно, что . Эпюра единичного момента совместно с грузовой эпюрой представлена на рис.4. Для использования формулы Верещагина грузовую эпюру на втором участке необходимо разбить еще на 2 участка (соответственно единичной) каждый из которых ограничен квадратичной параболой. Вычисление площадей и центров тяжести грузовой эпюрой в этом случае весьма трудоемкая задача и для перемножения эпюр по Верещагину рационально использовать формулу Симпсона-Корноухова, на рис. 4 проставлены необходимые для перемножения

Применяя формулу Симпсона-Корноухова для значения в (в размерностях – Н, МПа, мм) получим следующий результат:

Знак «+» означает, что сечение поворачивается по направлению единичного момента против часовой стрелки.

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 417; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!